Note

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ShapeFunctions#

Create Lagrange finite element shape functions.

  • SEG2
  • SEG3
  • SEG4
  • SEG5
  • TRI3
  • TRI6
  • TRI10
  • TRI15
  • QUAD4
  • QUAD8
  • QUAD9
  • TETRA4
  • TETRA10
  • HEXA8
  • HEXA20
  • HEXA27
  • PRISM6
  • PRISM15
  • PRISM18
==================== SEG2 ====================
N1 = lambda r : -(r - 1)/2
N2 = lambda r : (r + 1)/2

dN1 = [lambda r : -1/2]
dN2 = [lambda r : 1/2]

ddN1 = [lambda r : 0]
ddN2 = [lambda r : 0]

dddN1 = [lambda r : 0]
dddN2 = [lambda r : 0]

ddddN1 = [lambda r : 0]
ddddN2 = [lambda r : 0]



============= SEG2 EulerBernoulli =============
N1 = lambda r : (r - 1)**2*(r + 2)/4
N2 = lambda r : (r - 1)**2*(r + 1)/8
N3 = lambda r : -(r - 2)*(r + 1)**2/4
N4 = lambda r : (r - 1)*(r + 1)**2/8

dN1 = [lambda r : (r - 1)**2/4 + (r + 2)*(2*r - 2)/4]
dN2 = [lambda r : (r - 1)**2/8 + (r + 1)*(2*r - 2)/8]
dN3 = [lambda r : -(r - 2)*(2*r + 2)/4 - (r + 1)**2/4]
dN4 = [lambda r : (r - 1)*(2*r + 2)/8 + (r + 1)**2/8]

ddN1 = [lambda r : 3*r/2]
ddN2 = [lambda r : 3*r/4 - 1/4]
ddN3 = [lambda r : -3*r/2]
ddN4 = [lambda r : 3*r/4 + 1/4]

dddN1 = [lambda r : 3/2]
dddN2 = [lambda r : 3/4]
dddN3 = [lambda r : -3/2]
dddN4 = [lambda r : 3/4]

ddddN1 = [lambda r : 0]
ddddN2 = [lambda r : 0]
ddddN3 = [lambda r : 0]
ddddN4 = [lambda r : 0]



==================== SEG3 ====================
N1 = lambda r : r*(r - 1)/2
N2 = lambda r : r*(r + 1)/2
N3 = lambda r : -(r - 1)*(r + 1)

dN1 = [lambda r : r - 1/2]
dN2 = [lambda r : r + 1/2]
dN3 = [lambda r : -2*r]

ddN1 = [lambda r : 1]
ddN2 = [lambda r : 1]
ddN3 = [lambda r : -2]

dddN1 = [lambda r : 0]
dddN2 = [lambda r : 0]
dddN3 = [lambda r : 0]

ddddN1 = [lambda r : 0]
ddddN2 = [lambda r : 0]
ddddN3 = [lambda r : 0]



============= SEG3 EulerBernoulli =============
N1 = lambda r : r**2*(r - 1)**2*(3*r + 4)/4
N2 = lambda r : r**2*(r - 1)**2*(r + 1)/8
N3 = lambda r : -r**2*(r + 1)**2*(3*r - 4)/4
N4 = lambda r : r**2*(r - 1)*(r + 1)**2/8
N5 = lambda r : (r - 1)**2*(r + 1)**2
N6 = lambda r : r*(r - 1)**2*(r + 1)**2/2

dN1 = [lambda r : 3*r**2*(r - 1)**2/4 + r**2*(2*r - 2)*(3*r + 4)/4 + r*(r - 1)**2*(3*r + 4)/2]
dN2 = [lambda r : r**2*(r - 1)**2/8 + r**2*(r + 1)*(2*r - 2)/8 + r*(r - 1)**2*(r + 1)/4]
dN3 = [lambda r : -3*r**2*(r + 1)**2/4 - r**2*(2*r + 2)*(3*r - 4)/4 - r*(r + 1)**2*(3*r - 4)/2]
dN4 = [lambda r : r**2*(r - 1)*(2*r + 2)/8 + r**2*(r + 1)**2/8 + r*(r - 1)*(r + 1)**2/4]
dN5 = [lambda r : (r - 1)**2*(2*r + 2) + (r + 1)**2*(2*r - 2)]
dN6 = [lambda r : r*(r - 1)**2*(2*r + 2)/2 + r*(r + 1)**2*(2*r - 2)/2 + (r - 1)**2*(r + 1)**2/2]

ddN1 = [lambda r : 3*r**2*(2*r - 2)/2 + r**2*(3*r + 4)/2 + 3*r*(r - 1)**2 + r*(2*r - 2)*(3*r + 4) + (r - 1)**2*(3*r + 4)/2]
ddN2 = [lambda r : r**2*(r + 1)/4 + r**2*(2*r - 2)/4 + r*(r - 1)**2/2 + r*(r + 1)*(2*r - 2)/2 + (r - 1)**2*(r + 1)/4]
ddN3 = [lambda r : -3*r**2*(2*r + 2)/2 - r**2*(3*r - 4)/2 - 3*r*(r + 1)**2 - r*(2*r + 2)*(3*r - 4) - (r + 1)**2*(3*r - 4)/2]
ddN4 = [lambda r : r**2*(r - 1)/4 + r**2*(2*r + 2)/4 + r*(r - 1)*(2*r + 2)/2 + r*(r + 1)**2/2 + (r - 1)*(r + 1)**2/4]
ddN5 = [lambda r : 2*(r - 1)**2 + 2*(r + 1)**2 + 2*(2*r - 2)*(2*r + 2)]
ddN6 = [lambda r : r*(r - 1)**2 + r*(r + 1)**2 + r*(2*r - 2)*(2*r + 2) + (r - 1)**2*(2*r + 2) + (r + 1)**2*(2*r - 2)]

dddN1 = [lambda r : 9*r**2/2 + 9*r*(2*r - 2) + 3*r*(3*r + 4) + 9*(r - 1)**2/2 + 3*(2*r - 2)*(3*r + 4)/2]
dddN2 = [lambda r : 3*r**2/4 + 3*r*(r + 1)/2 + 3*r*(2*r - 2)/2 + 3*(r - 1)**2/4 + 3*(r + 1)*(2*r - 2)/4]
dddN3 = [lambda r : -9*r**2/2 - 9*r*(2*r + 2) - 3*r*(3*r - 4) - 9*(r + 1)**2/2 - 3*(2*r + 2)*(3*r - 4)/2]
dddN4 = [lambda r : 3*r**2/4 + 3*r*(r - 1)/2 + 3*r*(2*r + 2)/2 + 3*(r - 1)*(2*r + 2)/4 + 3*(r + 1)**2/4]
dddN5 = [lambda r : 24*r]
dddN6 = [lambda r : 3*r*(2*r - 2) + 3*r*(2*r + 2) + 3*(r - 1)**2 + 3*(r + 1)**2 + 3*(2*r - 2)*(2*r + 2)]

ddddN1 = [lambda r : 90*r - 12]
ddddN2 = [lambda r : 15*r - 3]
ddddN3 = [lambda r : -90*r - 12]
ddddN4 = [lambda r : 15*r + 3]
ddddN5 = [lambda r : 24]
ddddN6 = [lambda r : 60*r]



==================== SEG4 ====================
N1 = lambda r : -9*r**3/16 + 9*r**2/16 + r/16 - 1/16
N2 = lambda r : 9*r**3/16 + 9*r**2/16 - r/16 - 1/16
N3 = lambda r : 27*r**3/16 - 9*r**2/16 - 27*r/16 + 9/16
N4 = lambda r : -27*r**3/16 - 9*r**2/16 + 27*r/16 + 9/16

dN1 = [lambda r : -27*r**2/16 + 9*r/8 + 1/16]
dN2 = [lambda r : 27*r**2/16 + 9*r/8 - 1/16]
dN3 = [lambda r : 81*r**2/16 - 9*r/8 - 27/16]
dN4 = [lambda r : -81*r**2/16 - 9*r/8 + 27/16]

ddN1 = [lambda r : 9/8 - 27*r/8]
ddN2 = [lambda r : 27*r/8 + 9/8]
ddN3 = [lambda r : 81*r/8 - 9/8]
ddN4 = [lambda r : -81*r/8 - 9/8]

dddN1 = [lambda r : -27/8]
dddN2 = [lambda r : 27/8]
dddN3 = [lambda r : 81/8]
dddN4 = [lambda r : -81/8]

ddddN1 = [lambda r : 0]
ddddN2 = [lambda r : 0]
ddddN3 = [lambda r : 0]
ddddN4 = [lambda r : 0]



============= SEG4 EulerBernoulli =============
N1 = lambda r : 891*r**7/512 - 729*r**6/512 - 1413*r**5/512 + 1215*r**4/512 + 137207031249999*r**3/250000000000000 - 237304687500001*r**2/500000000000000 - 292968749999991*r/10000000000000000 + 253906250000009/10000000000000000
N2 = lambda r : 81*r**7/512 - 81*r**6/512 - 99*r**5/512 + 99*r**4/512 + 92773437499999*r**3/2500000000000000 - 185546875000001*r**2/5000000000000000 - r/512 + 1/512
N3 = lambda r : -891*r**7/512 - 729*r**6/512 + 275976562499999*r**5/100000000000000 + 1215*r**4/512 - 109765624999999*r**3/200000000000000 - 243*r**2/512 + 292968749999987*r/10000000000000000 + 13/512
N4 = lambda r : 81*r**7/512 + 81*r**6/512 - 99*r**5/512 - 99*r**4/512 + 92773437499999*r**3/2500000000000000 + 371093749999999*r**2/10000000000000000 - r/512 - 1/512
N5 = lambda r : 2187*r**7/512 + 729*r**6/512 - 5589*r**5/512 - 1215*r**4/512 + 450878906249999*r**3/50000000000000 + 94921874999999*r**2/200000000000000 - 1215*r/512 + 474609375000003/1000000000000000
N6 = lambda r : 729*r**7/512 - 243*r**6/512 - 1539*r**5/512 + 513*r**4/512 + 891*r**3/512 - 290039062500001*r**2/500000000000000 - 158203124999999*r/1000000000000000 + 527343750000009/10000000000000000
N7 = lambda r : -2187*r**7/512 + 729*r**6/512 + 5589*r**5/512 - 1215*r**4/512 - 450878906249999*r**3/50000000000000 + 474609375000007*r**2/1000000000000000 + 1215*r/512 + 118652343749999/250000000000000
N8 = lambda r : 729*r**7/512 + 243*r**6/512 - 300585937499999*r**5/100000000000000 - 513*r**4/512 + 174023437499999*r**3/100000000000000 + 290039062499999*r**2/500000000000000 - 79101562499999*r/500000000000000 - 527343749999993/10000000000000000

dN1 = [lambda r : 6237*r**6/512 - 2187*r**5/256 - 7065*r**4/512 + 1215*r**3/128 + 411621093749997*r**2/250000000000000 - 237304687500001*r/250000000000000 - 292968749999991/10000000000000000]
dN2 = [lambda r : 567*r**6/512 - 243*r**5/256 - 495*r**4/512 + 99*r**3/128 + 278320312499997*r**2/2500000000000000 - 185546875000001*r/2500000000000000 - 1/512]
dN3 = [lambda r : -6237*r**6/512 - 2187*r**5/256 + 275976562499999*r**4/20000000000000 + 1215*r**3/128 - 329296874999997*r**2/200000000000000 - 243*r/256 + 292968749999987/10000000000000000]
dN4 = [lambda r : 567*r**6/512 + 243*r**5/256 - 495*r**4/512 - 99*r**3/128 + 278320312499997*r**2/2500000000000000 + 371093749999999*r/5000000000000000 - 1/512]
dN5 = [lambda r : 15309*r**6/512 + 2187*r**5/256 - 27945*r**4/512 - 1215*r**3/128 + 1352636718749997*r**2/50000000000000 + 94921874999999*r/100000000000000 - 1215/512]
dN6 = [lambda r : 5103*r**6/512 - 729*r**5/256 - 7695*r**4/512 + 513*r**3/128 + 2673*r**2/512 - 290039062500001*r/250000000000000 - 158203124999999/1000000000000000]
dN7 = [lambda r : -15309*r**6/512 + 2187*r**5/256 + 27945*r**4/512 - 1215*r**3/128 - 1352636718749997*r**2/50000000000000 + 474609375000007*r/500000000000000 + 1215/512]
dN8 = [lambda r : 5103*r**6/512 + 729*r**5/256 - 300585937499999*r**4/20000000000000 - 513*r**3/128 + 522070312499997*r**2/100000000000000 + 290039062499999*r/250000000000000 - 79101562499999/500000000000000]

ddN1 = [lambda r : 18711*r**5/256 - 10935*r**4/256 - 7065*r**3/128 + 3645*r**2/128 + 411621093749997*r/125000000000000 - 237304687500001/250000000000000]
ddN2 = [lambda r : 1701*r**5/256 - 1215*r**4/256 - 495*r**3/128 + 297*r**2/128 + 278320312499997*r/1250000000000000 - 185546875000001/2500000000000000]
ddN3 = [lambda r : -18711*r**5/256 - 10935*r**4/256 + 275976562499999*r**3/5000000000000 + 3645*r**2/128 - 329296874999997*r/100000000000000 - 243/256]
ddN4 = [lambda r : 1701*r**5/256 + 1215*r**4/256 - 495*r**3/128 - 297*r**2/128 + 278320312499997*r/1250000000000000 + 371093749999999/5000000000000000]
ddN5 = [lambda r : 45927*r**5/256 + 10935*r**4/256 - 27945*r**3/128 - 3645*r**2/128 + 1352636718749997*r/25000000000000 + 94921874999999/100000000000000]
ddN6 = [lambda r : 15309*r**5/256 - 3645*r**4/256 - 7695*r**3/128 + 1539*r**2/128 + 2673*r/256 - 290039062500001/250000000000000]
ddN7 = [lambda r : -45927*r**5/256 + 10935*r**4/256 + 27945*r**3/128 - 3645*r**2/128 - 1352636718749997*r/25000000000000 + 474609375000007/500000000000000]
ddN8 = [lambda r : 15309*r**5/256 + 3645*r**4/256 - 300585937499999*r**3/5000000000000 - 1539*r**2/128 + 522070312499997*r/50000000000000 + 290039062499999/250000000000000]

dddN1 = [lambda r : 93555*r**4/256 - 10935*r**3/64 - 21195*r**2/128 + 3645*r/64 + 411621093749997/125000000000000]
dddN2 = [lambda r : 8505*r**4/256 - 1215*r**3/64 - 1485*r**2/128 + 297*r/64 + 278320312499997/1250000000000000]
dddN3 = [lambda r : -93555*r**4/256 - 10935*r**3/64 + 827929687499997*r**2/5000000000000 + 3645*r/64 - 329296874999997/100000000000000]
dddN4 = [lambda r : 8505*r**4/256 + 1215*r**3/64 - 1485*r**2/128 - 297*r/64 + 278320312499997/1250000000000000]
dddN5 = [lambda r : 229635*r**4/256 + 10935*r**3/64 - 83835*r**2/128 - 3645*r/64 + 1352636718749997/25000000000000]
dddN6 = [lambda r : 76545*r**4/256 - 3645*r**3/64 - 23085*r**2/128 + 1539*r/64 + 2673/256]
dddN7 = [lambda r : -229635*r**4/256 + 10935*r**3/64 + 83835*r**2/128 - 3645*r/64 - 1352636718749997/25000000000000]
dddN8 = [lambda r : 76545*r**4/256 + 3645*r**3/64 - 901757812499997*r**2/5000000000000 - 1539*r/64 + 522070312499997/50000000000000]

ddddN1 = [lambda r : 93555*r**3/64 - 32805*r**2/64 - 21195*r/64 + 3645/64]
ddddN2 = [lambda r : 8505*r**3/64 - 3645*r**2/64 - 1485*r/64 + 297/64]
ddddN3 = [lambda r : -93555*r**3/64 - 32805*r**2/64 + 827929687499997*r/2500000000000 + 3645/64]
ddddN4 = [lambda r : 8505*r**3/64 + 3645*r**2/64 - 1485*r/64 - 297/64]
ddddN5 = [lambda r : 229635*r**3/64 + 32805*r**2/64 - 83835*r/64 - 3645/64]
ddddN6 = [lambda r : 76545*r**3/64 - 10935*r**2/64 - 23085*r/64 + 1539/64]
ddddN7 = [lambda r : -229635*r**3/64 + 32805*r**2/64 + 83835*r/64 - 3645/64]
ddddN8 = [lambda r : 76545*r**3/64 + 10935*r**2/64 - 901757812499997*r/2500000000000 - 1539/64]



==================== SEG5 ====================
N1 = lambda r : 2*r**4/3 - 2*r**3/3 - r**2/6 + r/6
N2 = lambda r : 2*r**4/3 + 2*r**3/3 - r**2/6 - r/6
N3 = lambda r : -8*r**4/3 + 4*r**3/3 + 8*r**2/3 - 4*r/3
N4 = lambda r : 4*r**4 - 5*r**2 + 1
N5 = lambda r : -8*r**4/3 - 4*r**3/3 + 8*r**2/3 + 4*r/3

dN1 = [lambda r : 8*r**3/3 - 2*r**2 - r/3 + 1/6]
dN2 = [lambda r : 8*r**3/3 + 2*r**2 - r/3 - 1/6]
dN3 = [lambda r : -32*r**3/3 + 4*r**2 + 16*r/3 - 4/3]
dN4 = [lambda r : 16*r**3 - 10*r]
dN5 = [lambda r : -32*r**3/3 - 4*r**2 + 16*r/3 + 4/3]

ddN1 = [lambda r : 8*r**2 - 4*r - 1/3]
ddN2 = [lambda r : 8*r**2 + 4*r - 1/3]
ddN3 = [lambda r : -32*r**2 + 8*r + 16/3]
ddN4 = [lambda r : 48*r**2 - 10]
ddN5 = [lambda r : -32*r**2 - 8*r + 16/3]

dddN1 = [lambda r : 16*r - 4]
dddN2 = [lambda r : 16*r + 4]
dddN3 = [lambda r : 8 - 64*r]
dddN4 = [lambda r : 96*r]
dddN5 = [lambda r : -64*r - 8]

ddddN1 = [lambda r : 16]
ddddN2 = [lambda r : 16]
ddddN3 = [lambda r : -64]
ddddN4 = [lambda r : 96]
ddddN5 = [lambda r : -64]



============= SEG5 EulerBernoulli =============
N1 = lambda r : 100*r**9/27 - 162962962962963*r**8/50000000000000 - 58*r**7/9 + 52*r**6/9 + 91*r**5/36 - 41*r**4/18 - 31*r**3/108 + 7*r**2/27
N2 = lambda r : 2*r**9/9 - 2*r**8/9 - r**7/3 + r**6/3 + r**5/8 - r**4/8 - r**3/72 + r**2/72
N3 = lambda r : -100*r**9/27 - 162962962962963*r**8/50000000000000 + 58*r**7/9 + 52*r**6/9 - 91*r**5/36 - 41*r**4/18 + 31*r**3/108 + 7*r**2/27
N4 = lambda r : 2*r**9/9 + 2*r**8/9 - r**7/3 - r**6/3 + r**5/8 + r**4/8 - r**3/72 - r**2/72
N5 = lambda r : 640*r**9/27 - 128*r**8/27 - 544*r**7/9 + 128*r**6/9 + 448*r**5/9 - 128*r**4/9 - 352*r**3/27 + 128*r**2/27
N6 = lambda r : 32*r**9/9 - 16*r**8/9 - 8*r**7 + 4*r**6 + 16*r**5/3 - 8*r**4/3 - 8*r**3/9 + 4*r**2/9
N7 = lambda r : 16*r**8 - 40*r**6 + 33*r**4 - 10*r**2 + 1
N8 = lambda r : 8*r**9 - 20*r**7 + 33*r**5/2 - 5*r**3 + r/2
N9 = lambda r : -640*r**9/27 - 128*r**8/27 + 544*r**7/9 + 128*r**6/9 - 448*r**5/9 - 128*r**4/9 + 352*r**3/27 + 128*r**2/27
N10 = lambda r : 32*r**9/9 + 16*r**8/9 - 8*r**7 - 4*r**6 + 16*r**5/3 + 8*r**4/3 - 8*r**3/9 - 4*r**2/9

dN1 = [lambda r : 100*r**8/3 - 162962962962963*r**7/6250000000000 - 406*r**6/9 + 104*r**5/3 + 455*r**4/36 - 82*r**3/9 - 31*r**2/36 + 14*r/27]
dN2 = [lambda r : 2*r**8 - 16*r**7/9 - 7*r**6/3 + 2*r**5 + 5*r**4/8 - r**3/2 - r**2/24 + r/36]
dN3 = [lambda r : -100*r**8/3 - 162962962962963*r**7/6250000000000 + 406*r**6/9 + 104*r**5/3 - 455*r**4/36 - 82*r**3/9 + 31*r**2/36 + 14*r/27]
dN4 = [lambda r : 2*r**8 + 16*r**7/9 - 7*r**6/3 - 2*r**5 + 5*r**4/8 + r**3/2 - r**2/24 - r/36]
dN5 = [lambda r : 640*r**8/3 - 1024*r**7/27 - 3808*r**6/9 + 256*r**5/3 + 2240*r**4/9 - 512*r**3/9 - 352*r**2/9 + 256*r/27]
dN6 = [lambda r : 32*r**8 - 128*r**7/9 - 56*r**6 + 24*r**5 + 80*r**4/3 - 32*r**3/3 - 8*r**2/3 + 8*r/9]
dN7 = [lambda r : 128*r**7 - 240*r**5 + 132*r**3 - 20*r]
dN8 = [lambda r : 72*r**8 - 140*r**6 + 165*r**4/2 - 15*r**2 + 1/2]
dN9 = [lambda r : -640*r**8/3 - 1024*r**7/27 + 3808*r**6/9 + 256*r**5/3 - 2240*r**4/9 - 512*r**3/9 + 352*r**2/9 + 256*r/27]
dN10 = [lambda r : 32*r**8 + 128*r**7/9 - 56*r**6 - 24*r**5 + 80*r**4/3 + 32*r**3/3 - 8*r**2/3 - 8*r/9]

ddN1 = [lambda r : 800*r**7/3 - 1140740740740741*r**6/6250000000000 - 812*r**5/3 + 520*r**4/3 + 455*r**3/9 - 82*r**2/3 - 31*r/18 + 14/27]
ddN2 = [lambda r : 16*r**7 - 112*r**6/9 - 14*r**5 + 10*r**4 + 5*r**3/2 - 3*r**2/2 - r/12 + 1/36]
ddN3 = [lambda r : -800*r**7/3 - 1140740740740741*r**6/6250000000000 + 812*r**5/3 + 520*r**4/3 - 455*r**3/9 - 82*r**2/3 + 31*r/18 + 14/27]
ddN4 = [lambda r : 16*r**7 + 112*r**6/9 - 14*r**5 - 10*r**4 + 5*r**3/2 + 3*r**2/2 - r/12 - 1/36]
ddN5 = [lambda r : 5120*r**7/3 - 7168*r**6/27 - 7616*r**5/3 + 1280*r**4/3 + 8960*r**3/9 - 512*r**2/3 - 704*r/9 + 256/27]
ddN6 = [lambda r : 256*r**7 - 896*r**6/9 - 336*r**5 + 120*r**4 + 320*r**3/3 - 32*r**2 - 16*r/3 + 8/9]
ddN7 = [lambda r : 896*r**6 - 1200*r**4 + 396*r**2 - 20]
ddN8 = [lambda r : 576*r**7 - 840*r**5 + 330*r**3 - 30*r]
ddN9 = [lambda r : -5120*r**7/3 - 7168*r**6/27 + 7616*r**5/3 + 1280*r**4/3 - 8960*r**3/9 - 512*r**2/3 + 704*r/9 + 256/27]
ddN10 = [lambda r : 256*r**7 + 896*r**6/9 - 336*r**5 - 120*r**4 + 320*r**3/3 + 32*r**2 - 16*r/3 - 8/9]

dddN1 = [lambda r : 5600*r**6/3 - 3422222222222223*r**5/3125000000000 - 4060*r**4/3 + 2080*r**3/3 + 455*r**2/3 - 164*r/3 - 31/18]
dddN2 = [lambda r : 112*r**6 - 224*r**5/3 - 70*r**4 + 40*r**3 + 15*r**2/2 - 3*r - 1/12]
dddN3 = [lambda r : -5600*r**6/3 - 3422222222222223*r**5/3125000000000 + 4060*r**4/3 + 2080*r**3/3 - 455*r**2/3 - 164*r/3 + 31/18]
dddN4 = [lambda r : 112*r**6 + 224*r**5/3 - 70*r**4 - 40*r**3 + 15*r**2/2 + 3*r - 1/12]
dddN5 = [lambda r : 35840*r**6/3 - 14336*r**5/9 - 38080*r**4/3 + 5120*r**3/3 + 8960*r**2/3 - 1024*r/3 - 704/9]
dddN6 = [lambda r : 1792*r**6 - 1792*r**5/3 - 1680*r**4 + 480*r**3 + 320*r**2 - 64*r - 16/3]
dddN7 = [lambda r : 5376*r**5 - 4800*r**3 + 792*r]
dddN8 = [lambda r : 4032*r**6 - 4200*r**4 + 990*r**2 - 30]
dddN9 = [lambda r : -35840*r**6/3 - 14336*r**5/9 + 38080*r**4/3 + 5120*r**3/3 - 8960*r**2/3 - 1024*r/3 + 704/9]
dddN10 = [lambda r : 1792*r**6 + 1792*r**5/3 - 1680*r**4 - 480*r**3 + 320*r**2 + 64*r - 16/3]

ddddN1 = [lambda r : 11200*r**5 - 3422222222222223*r**4/625000000000 - 16240*r**3/3 + 2080*r**2 + 910*r/3 - 164/3]
ddddN2 = [lambda r : 672*r**5 - 1120*r**4/3 - 280*r**3 + 120*r**2 + 15*r - 3]
ddddN3 = [lambda r : -11200*r**5 - 3422222222222223*r**4/625000000000 + 16240*r**3/3 + 2080*r**2 - 910*r/3 - 164/3]
ddddN4 = [lambda r : 672*r**5 + 1120*r**4/3 - 280*r**3 - 120*r**2 + 15*r + 3]
ddddN5 = [lambda r : 71680*r**5 - 71680*r**4/9 - 152320*r**3/3 + 5120*r**2 + 17920*r/3 - 1024/3]
ddddN6 = [lambda r : 10752*r**5 - 8960*r**4/3 - 6720*r**3 + 1440*r**2 + 640*r - 64]
ddddN7 = [lambda r : 26880*r**4 - 14400*r**2 + 792]
ddddN8 = [lambda r : 24192*r**5 - 16800*r**3 + 1980*r]
ddddN9 = [lambda r : -71680*r**5 - 71680*r**4/9 + 152320*r**3/3 + 5120*r**2 - 17920*r/3 - 1024/3]
ddddN10 = [lambda r : 10752*r**5 + 8960*r**4/3 - 6720*r**3 - 1440*r**2 + 640*r + 64]



==================== TRI3 ====================
N1 = lambda r, s : -r - s + 1
N2 = lambda r, s : r
N3 = lambda r, s : s

dN1 = [lambda r, s : -1, lambda r, s : -1]
dN2 = [lambda r, s : 1, lambda r, s : 0]
dN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 1]

ddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]

dddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]

ddddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]



==================== TRI6 ====================
N1 = lambda r, s : (r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)
N2 = lambda r, s : r*(2*r - 1)
N3 = lambda r, s : s*(2*s - 1)
N4 = lambda r, s : -4*r*(r + s - 1)
N5 = lambda r, s : 4*r*s
N6 = lambda r, s : -4*s*(r + s - 1)

dN1 = [lambda r, s : 4*r + 4*s - 3, lambda r, s : 4*r + 4*s - 3]
dN2 = [lambda r, s : 4*r - 1, lambda r, s : 0]
dN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 4*s - 1]
dN4 = [lambda r, s : -8*r - 4*s + 4, lambda r, s : -4*r]
dN5 = [lambda r, s : 4*s, lambda r, s : 4*r]
dN6 = [lambda r, s : -4*s, lambda r, s : -4*r - 8*s + 4]

ddN1 = [lambda r, s : 4, lambda r, s : 4]
ddN2 = [lambda r, s : 4, lambda r, s : 0]
ddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 4]
ddN4 = [lambda r, s : -8, lambda r, s : 0]
ddN5 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : -8]

dddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN5 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]

ddddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN5 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]



==================== TRI10 ====================
N1 = lambda r, s : -9*r**3/2 - 27*r**2*s/2 + 9*r**2 - 27*r*s**2/2 + 18*r*s - 11*r/2 - 9*s**3/2 + 9*s**2 - 11*s/2 + 1
N2 = lambda r, s : 9*r**3/2 - 9*r**2/2 + r
N3 = lambda r, s : 9*s**3/2 - 9*s**2/2 + s
N4 = lambda r, s : 27*r**3/2 + 27*r**2*s - 45*r**2/2 + 27*r*s**2/2 - 45*r*s/2 + 9*r
N5 = lambda r, s : -27*r**3/2 - 27*r**2*s/2 + 18*r**2 + 9*r*s/2 - 9*r/2
N6 = lambda r, s : 27*r**2*s/2 - 9*r*s/2
N7 = lambda r, s : 27*r*s**2/2 - 9*r*s/2
N8 = lambda r, s : -27*r*s**2/2 + 9*r*s/2 - 27*s**3/2 + 18*s**2 - 9*s/2
N9 = lambda r, s : 27*r**2*s/2 + 27*r*s**2 - 45*r*s/2 + 27*s**3/2 - 45*s**2/2 + 9*s
N10 = lambda r, s : -27*r**2*s - 27*r*s**2 + 27*r*s

dN1 = [lambda r, s : -27*r**2/2 - 27*r*s + 18*r - 27*s**2/2 + 18*s - 11/2, lambda r, s : -27*r**2/2 - 27*r*s + 18*r - 27*s**2/2 + 18*s - 11/2]
dN2 = [lambda r, s : 27*r**2/2 - 9*r + 1, lambda r, s : 0]
dN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 27*s**2/2 - 9*s + 1]
dN4 = [lambda r, s : 81*r**2/2 + 54*r*s - 45*r + 27*s**2/2 - 45*s/2 + 9, lambda r, s : 27*r**2 + 27*r*s - 45*r/2]
dN5 = [lambda r, s : -81*r**2/2 - 27*r*s + 36*r + 9*s/2 - 9/2, lambda r, s : -27*r**2/2 + 9*r/2]
dN6 = [lambda r, s : 27*r*s - 9*s/2, lambda r, s : 27*r**2/2 - 9*r/2]
dN7 = [lambda r, s : 27*s**2/2 - 9*s/2, lambda r, s : 27*r*s - 9*r/2]
dN8 = [lambda r, s : -27*s**2/2 + 9*s/2, lambda r, s : -27*r*s + 9*r/2 - 81*s**2/2 + 36*s - 9/2]
dN9 = [lambda r, s : 27*r*s + 27*s**2 - 45*s/2, lambda r, s : 27*r**2/2 + 54*r*s - 45*r/2 + 81*s**2/2 - 45*s + 9]
dN10 = [lambda r, s : -54*r*s - 27*s**2 + 27*s, lambda r, s : -27*r**2 - 54*r*s + 27*r]

ddN1 = [lambda r, s : -27*r - 27*s + 18, lambda r, s : -27*r - 27*s + 18]
ddN2 = [lambda r, s : 27*r - 9, lambda r, s : 0]
ddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 27*s - 9]
ddN4 = [lambda r, s : 81*r + 54*s - 45, lambda r, s : 27*r]
ddN5 = [lambda r, s : -81*r - 27*s + 36, lambda r, s : 0]
ddN6 = [lambda r, s : 27*s, lambda r, s : 0]
ddN7 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 27*r]
ddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : -27*r - 81*s + 36]
ddN9 = [lambda r, s : 27*s, lambda r, s : 54*r + 81*s - 45]
ddN10 = [lambda r, s : -54*s, lambda r, s : -54*r]

dddN1 = [lambda r, s : -27, lambda r, s : -27]
dddN2 = [lambda r, s : 27, lambda r, s : 0]
dddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 27]
dddN4 = [lambda r, s : 81, lambda r, s : 0]
dddN5 = [lambda r, s : -81, lambda r, s : 0]
dddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN7 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : -81]
dddN9 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 81]
dddN10 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]

ddddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN5 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN7 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN9 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN10 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]



==================== TRI15 ====================
N1 = lambda r, s : 32*r**4/3 + 128*r**3*s/3 - 80*r**3/3 + 64*r**2*s**2 - 80*r**2*s + 70*r**2/3 + 128*r*s**3/3 - 80*r*s**2 + 140*r*s/3 - 25*r/3 + 32*s**4/3 - 80*s**3/3 + 70*s**2/3 - 25*s/3 + 1
N2 = lambda r, s : 32*r**4/3 - 16*r**3 + 22*r**2/3 - r
N3 = lambda r, s : 32*s**4/3 - 16*s**3 + 22*s**2/3 - s
N4 = lambda r, s : -128*r**4/3 - 128*r**3*s + 96*r**3 - 128*r**2*s**2 + 192*r**2*s - 208*r**2/3 - 128*r*s**3/3 + 96*r*s**2 - 208*r*s/3 + 16*r
N5 = lambda r, s : 64*r**4 + 128*r**3*s - 128*r**3 + 64*r**2*s**2 - 144*r**2*s + 76*r**2 - 16*r*s**2 + 28*r*s - 12*r
N6 = lambda r, s : -128*r**4/3 - 128*r**3*s/3 + 224*r**3/3 + 32*r**2*s - 112*r**2/3 - 16*r*s/3 + 16*r/3
N7 = lambda r, s : 128*r**3*s/3 - 32*r**2*s + 16*r*s/3
N8 = lambda r, s : 64*r**2*s**2 - 16*r**2*s - 16*r*s**2 + 4*r*s
N9 = lambda r, s : 128*r*s**3/3 - 32*r*s**2 + 16*r*s/3
N10 = lambda r, s : -128*r*s**3/3 + 32*r*s**2 - 16*r*s/3 - 128*s**4/3 + 224*s**3/3 - 112*s**2/3 + 16*s/3
N11 = lambda r, s : 64*r**2*s**2 - 16*r**2*s + 128*r*s**3 - 144*r*s**2 + 28*r*s + 64*s**4 - 128*s**3 + 76*s**2 - 12*s
N12 = lambda r, s : -128*r**3*s/3 - 128*r**2*s**2 + 96*r**2*s - 128*r*s**3 + 192*r*s**2 - 208*r*s/3 - 128*s**4/3 + 96*s**3 - 208*s**2/3 + 16*s
N13 = lambda r, s : 128*r**3*s + 256*r**2*s**2 - 224*r**2*s + 128*r*s**3 - 224*r*s**2 + 96*r*s
N14 = lambda r, s : -128*r**3*s - 128*r**2*s**2 + 160*r**2*s + 32*r*s**2 - 32*r*s
N15 = lambda r, s : -128*r**2*s**2 + 32*r**2*s - 128*r*s**3 + 160*r*s**2 - 32*r*s

dN1 = [lambda r, s : 128*r**3/3 + 128*r**2*s - 80*r**2 + 128*r*s**2 - 160*r*s + 140*r/3 + 128*s**3/3 - 80*s**2 + 140*s/3 - 25/3, lambda r, s : 128*r**3/3 + 128*r**2*s - 80*r**2 + 128*r*s**2 - 160*r*s + 140*r/3 + 128*s**3/3 - 80*s**2 + 140*s/3 - 25/3]
dN2 = [lambda r, s : 128*r**3/3 - 48*r**2 + 44*r/3 - 1, lambda r, s : 0]
dN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 128*s**3/3 - 48*s**2 + 44*s/3 - 1]
dN4 = [lambda r, s : -512*r**3/3 - 384*r**2*s + 288*r**2 - 256*r*s**2 + 384*r*s - 416*r/3 - 128*s**3/3 + 96*s**2 - 208*s/3 + 16, lambda r, s : -128*r**3 - 256*r**2*s + 192*r**2 - 128*r*s**2 + 192*r*s - 208*r/3]
dN5 = [lambda r, s : 256*r**3 + 384*r**2*s - 384*r**2 + 128*r*s**2 - 288*r*s + 152*r - 16*s**2 + 28*s - 12, lambda r, s : 128*r**3 + 128*r**2*s - 144*r**2 - 32*r*s + 28*r]
dN6 = [lambda r, s : -512*r**3/3 - 128*r**2*s + 224*r**2 + 64*r*s - 224*r/3 - 16*s/3 + 16/3, lambda r, s : -128*r**3/3 + 32*r**2 - 16*r/3]
dN7 = [lambda r, s : 128*r**2*s - 64*r*s + 16*s/3, lambda r, s : 128*r**3/3 - 32*r**2 + 16*r/3]
dN8 = [lambda r, s : 128*r*s**2 - 32*r*s - 16*s**2 + 4*s, lambda r, s : 128*r**2*s - 16*r**2 - 32*r*s + 4*r]
dN9 = [lambda r, s : 128*s**3/3 - 32*s**2 + 16*s/3, lambda r, s : 128*r*s**2 - 64*r*s + 16*r/3]
dN10 = [lambda r, s : -128*s**3/3 + 32*s**2 - 16*s/3, lambda r, s : -128*r*s**2 + 64*r*s - 16*r/3 - 512*s**3/3 + 224*s**2 - 224*s/3 + 16/3]
dN11 = [lambda r, s : 128*r*s**2 - 32*r*s + 128*s**3 - 144*s**2 + 28*s, lambda r, s : 128*r**2*s - 16*r**2 + 384*r*s**2 - 288*r*s + 28*r + 256*s**3 - 384*s**2 + 152*s - 12]
dN12 = [lambda r, s : -128*r**2*s - 256*r*s**2 + 192*r*s - 128*s**3 + 192*s**2 - 208*s/3, lambda r, s : -128*r**3/3 - 256*r**2*s + 96*r**2 - 384*r*s**2 + 384*r*s - 208*r/3 - 512*s**3/3 + 288*s**2 - 416*s/3 + 16]
dN13 = [lambda r, s : 384*r**2*s + 512*r*s**2 - 448*r*s + 128*s**3 - 224*s**2 + 96*s, lambda r, s : 128*r**3 + 512*r**2*s - 224*r**2 + 384*r*s**2 - 448*r*s + 96*r]
dN14 = [lambda r, s : -384*r**2*s - 256*r*s**2 + 320*r*s + 32*s**2 - 32*s, lambda r, s : -128*r**3 - 256*r**2*s + 160*r**2 + 64*r*s - 32*r]
dN15 = [lambda r, s : -256*r*s**2 + 64*r*s - 128*s**3 + 160*s**2 - 32*s, lambda r, s : -256*r**2*s + 32*r**2 - 384*r*s**2 + 320*r*s - 32*r]

ddN1 = [lambda r, s : 128*r**2 + 256*r*s - 160*r + 128*s**2 - 160*s + 140/3, lambda r, s : 128*r**2 + 256*r*s - 160*r + 128*s**2 - 160*s + 140/3]
ddN2 = [lambda r, s : 128*r**2 - 96*r + 44/3, lambda r, s : 0]
ddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 128*s**2 - 96*s + 44/3]
ddN4 = [lambda r, s : -512*r**2 - 768*r*s + 576*r - 256*s**2 + 384*s - 416/3, lambda r, s : -256*r**2 - 256*r*s + 192*r]
ddN5 = [lambda r, s : 768*r**2 + 768*r*s - 768*r + 128*s**2 - 288*s + 152, lambda r, s : 128*r**2 - 32*r]
ddN6 = [lambda r, s : -512*r**2 - 256*r*s + 448*r + 64*s - 224/3, lambda r, s : 0]
ddN7 = [lambda r, s : 256*r*s - 64*s, lambda r, s : 0]
ddN8 = [lambda r, s : 128*s**2 - 32*s, lambda r, s : 128*r**2 - 32*r]
ddN9 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 256*r*s - 64*r]
ddN10 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : -256*r*s + 64*r - 512*s**2 + 448*s - 224/3]
ddN11 = [lambda r, s : 128*s**2 - 32*s, lambda r, s : 128*r**2 + 768*r*s - 288*r + 768*s**2 - 768*s + 152]
ddN12 = [lambda r, s : -256*r*s - 256*s**2 + 192*s, lambda r, s : -256*r**2 - 768*r*s + 384*r - 512*s**2 + 576*s - 416/3]
ddN13 = [lambda r, s : 768*r*s + 512*s**2 - 448*s, lambda r, s : 512*r**2 + 768*r*s - 448*r]
ddN14 = [lambda r, s : -768*r*s - 256*s**2 + 320*s, lambda r, s : -256*r**2 + 64*r]
ddN15 = [lambda r, s : -256*s**2 + 64*s, lambda r, s : -256*r**2 - 768*r*s + 320*r]

dddN1 = [lambda r, s : 256*r + 256*s - 160, lambda r, s : 256*r + 256*s - 160]
dddN2 = [lambda r, s : 256*r - 96, lambda r, s : 0]
dddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 256*s - 96]
dddN4 = [lambda r, s : -1024*r - 768*s + 576, lambda r, s : -256*r]
dddN5 = [lambda r, s : 1536*r + 768*s - 768, lambda r, s : 0]
dddN6 = [lambda r, s : -1024*r - 256*s + 448, lambda r, s : 0]
dddN7 = [lambda r, s : 256*s, lambda r, s : 0]
dddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN9 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 256*r]
dddN10 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : -256*r - 1024*s + 448]
dddN11 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 768*r + 1536*s - 768]
dddN12 = [lambda r, s : -256*s, lambda r, s : -768*r - 1024*s + 576]
dddN13 = [lambda r, s : 768*s, lambda r, s : 768*r]
dddN14 = [lambda r, s : -768*s, lambda r, s : 0]
dddN15 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : -768*r]

ddddN1 = [lambda r, s : 256, lambda r, s : 256]
ddddN2 = [lambda r, s : 256, lambda r, s : 0]
ddddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 256]
ddddN4 = [lambda r, s : -1024, lambda r, s : 0]
ddddN5 = [lambda r, s : 1536, lambda r, s : 0]
ddddN6 = [lambda r, s : -1024, lambda r, s : 0]
ddddN7 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN9 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN10 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : -1024]
ddddN11 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 1536]
ddddN12 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : -1024]
ddddN13 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN14 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN15 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]



==================== QUAD4 ====================
N1 = lambda r, s : (r - 1)*(s - 1)/4
N2 = lambda r, s : -(r + 1)*(s - 1)/4
N3 = lambda r, s : (r + 1)*(s + 1)/4
N4 = lambda r, s : -(r - 1)*(s + 1)/4

dN1 = [lambda r, s : s/4 - 1/4, lambda r, s : r/4 - 1/4]
dN2 = [lambda r, s : 1/4 - s/4, lambda r, s : -r/4 - 1/4]
dN3 = [lambda r, s : s/4 + 1/4, lambda r, s : r/4 + 1/4]
dN4 = [lambda r, s : -s/4 - 1/4, lambda r, s : 1/4 - r/4]

ddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]

dddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]

ddddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]



==================== QUAD8 ====================
N1 = lambda r, s : -(r - 1)*(s - 1)*(r + s + 1)/4
N2 = lambda r, s : -(r + 1)*(s - 1)*(r - s - 1)/4
N3 = lambda r, s : (r + 1)*(s + 1)*(r + s - 1)/4
N4 = lambda r, s : (r - 1)*(s + 1)*(r - s + 1)/4
N5 = lambda r, s : (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)/2
N6 = lambda r, s : -(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/2
N7 = lambda r, s : -(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)/2
N8 = lambda r, s : (r - 1)*(s - 1)*(s + 1)/2

dN1 = [lambda r, s : -(r - 1)*(s - 1)/4 - (s - 1)*(r + s + 1)/4, lambda r, s : -(r - 1)*(s - 1)/4 - (r - 1)*(r + s + 1)/4]
dN2 = [lambda r, s : -(r + 1)*(s - 1)/4 - (s - 1)*(r - s - 1)/4, lambda r, s : (r + 1)*(s - 1)/4 - (r + 1)*(r - s - 1)/4]
dN3 = [lambda r, s : (r + 1)*(s + 1)/4 + (s + 1)*(r + s - 1)/4, lambda r, s : (r + 1)*(s + 1)/4 + (r + 1)*(r + s - 1)/4]
dN4 = [lambda r, s : (r - 1)*(s + 1)/4 + (s + 1)*(r - s + 1)/4, lambda r, s : -(r - 1)*(s + 1)/4 + (r - 1)*(r - s + 1)/4]
dN5 = [lambda r, s : (r - 1)*(s - 1)/2 + (r + 1)*(s - 1)/2, lambda r, s : (r - 1)*(r + 1)/2]
dN6 = [lambda r, s : -(s - 1)*(s + 1)/2, lambda r, s : -(r + 1)*(s - 1)/2 - (r + 1)*(s + 1)/2]
dN7 = [lambda r, s : -(r - 1)*(s + 1)/2 - (r + 1)*(s + 1)/2, lambda r, s : -(r - 1)*(r + 1)/2]
dN8 = [lambda r, s : (s - 1)*(s + 1)/2, lambda r, s : (r - 1)*(s - 1)/2 + (r - 1)*(s + 1)/2]

ddN1 = [lambda r, s : 1/2 - s/2, lambda r, s : 1/2 - r/2]
ddN2 = [lambda r, s : 1/2 - s/2, lambda r, s : r/2 + 1/2]
ddN3 = [lambda r, s : s/2 + 1/2, lambda r, s : r/2 + 1/2]
ddN4 = [lambda r, s : s/2 + 1/2, lambda r, s : 1/2 - r/2]
ddN5 = [lambda r, s : s - 1, lambda r, s : 0]
ddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : -r - 1]
ddN7 = [lambda r, s : -s - 1, lambda r, s : 0]
ddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : r - 1]

dddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN5 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN7 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]

ddddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN5 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN7 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]



==================== QUAD9 ====================
N1 = lambda r, s : r*s*(r - 1)*(s - 1)/4
N2 = lambda r, s : r*s*(r + 1)*(s - 1)/4
N3 = lambda r, s : r*s*(r + 1)*(s + 1)/4
N4 = lambda r, s : r*s*(r - 1)*(s + 1)/4
N5 = lambda r, s : -s*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)/2
N6 = lambda r, s : -r*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/2
N7 = lambda r, s : -s*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)/2
N8 = lambda r, s : -r*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)/2
N9 = lambda r, s : (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)

dN1 = [lambda r, s : r*s*(s - 1)/4 + s*(r - 1)*(s - 1)/4, lambda r, s : r*s*(r - 1)/4 + r*(r - 1)*(s - 1)/4]
dN2 = [lambda r, s : r*s*(s - 1)/4 + s*(r + 1)*(s - 1)/4, lambda r, s : r*s*(r + 1)/4 + r*(r + 1)*(s - 1)/4]
dN3 = [lambda r, s : r*s*(s + 1)/4 + s*(r + 1)*(s + 1)/4, lambda r, s : r*s*(r + 1)/4 + r*(r + 1)*(s + 1)/4]
dN4 = [lambda r, s : r*s*(s + 1)/4 + s*(r - 1)*(s + 1)/4, lambda r, s : r*s*(r - 1)/4 + r*(r - 1)*(s + 1)/4]
dN5 = [lambda r, s : -s*(r - 1)*(s - 1)/2 - s*(r + 1)*(s - 1)/2, lambda r, s : -s*(r - 1)*(r + 1)/2 - (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)/2]
dN6 = [lambda r, s : -r*(s - 1)*(s + 1)/2 - (r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/2, lambda r, s : -r*(r + 1)*(s - 1)/2 - r*(r + 1)*(s + 1)/2]
dN7 = [lambda r, s : -s*(r - 1)*(s + 1)/2 - s*(r + 1)*(s + 1)/2, lambda r, s : -s*(r - 1)*(r + 1)/2 - (r - 1)*(r + 1)*(s + 1)/2]
dN8 = [lambda r, s : -r*(s - 1)*(s + 1)/2 - (r - 1)*(s - 1)*(s + 1)/2, lambda r, s : -r*(r - 1)*(s - 1)/2 - r*(r - 1)*(s + 1)/2]
dN9 = [lambda r, s : (r - 1)*(s - 1)*(s + 1) + (r + 1)*(s - 1)*(s + 1), lambda r, s : (r - 1)*(r + 1)*(s - 1) + (r - 1)*(r + 1)*(s + 1)]

ddN1 = [lambda r, s : s*(s - 1)/2, lambda r, s : r*(r - 1)/2]
ddN2 = [lambda r, s : s*(s - 1)/2, lambda r, s : r*(r + 1)/2]
ddN3 = [lambda r, s : s*(s + 1)/2, lambda r, s : r*(r + 1)/2]
ddN4 = [lambda r, s : s*(s + 1)/2, lambda r, s : r*(r - 1)/2]
ddN5 = [lambda r, s : -s*(s - 1), lambda r, s : -(r - 1)*(r + 1)]
ddN6 = [lambda r, s : -(s - 1)*(s + 1), lambda r, s : -r*(r + 1)]
ddN7 = [lambda r, s : -s*(s + 1), lambda r, s : -(r - 1)*(r + 1)]
ddN8 = [lambda r, s : -(s - 1)*(s + 1), lambda r, s : -r*(r - 1)]
ddN9 = [lambda r, s : 2*(s - 1)*(s + 1), lambda r, s : 2*(r - 1)*(r + 1)]

dddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN5 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN7 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN9 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]

ddddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN5 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN7 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN9 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]



=================== TETRA4 ===================
N1 = lambda r, s, t : -r - s - t + 1
N2 = lambda r, s, t : r
N3 = lambda r, s, t : s
N4 = lambda r, s, t : t

dN1 = [lambda r, s, t : -1, lambda r, s, t : -1, lambda r, s, t : -1]
dN2 = [lambda r, s, t : 1, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 1, lambda r, s, t : 0]
dN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 1]

ddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

dddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

ddddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]



=================== TETRA10 ===================
N1 = lambda r, s, t : (r + s + t - 1)*(2*r + 2*s + 2*t - 1)
N2 = lambda r, s, t : r*(2*r - 1)
N3 = lambda r, s, t : s*(2*s - 1)
N4 = lambda r, s, t : t*(2*t - 1)
N5 = lambda r, s, t : -4*r*(r + s + t - 1)
N6 = lambda r, s, t : 4*r*s
N7 = lambda r, s, t : -4*s*(r + s + t - 1)
N8 = lambda r, s, t : -4*t*(r + s + t - 1)
N9 = lambda r, s, t : 4*s*t
N10 = lambda r, s, t : 4*r*t

dN1 = [lambda r, s, t : 4*r + 4*s + 4*t - 3, lambda r, s, t : 4*r + 4*s + 4*t - 3, lambda r, s, t : 4*r + 4*s + 4*t - 3]
dN2 = [lambda r, s, t : 4*r - 1, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 4*s - 1, lambda r, s, t : 0]
dN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 4*t - 1]
dN5 = [lambda r, s, t : -8*r - 4*s - 4*t + 4, lambda r, s, t : -4*r, lambda r, s, t : -4*r]
dN6 = [lambda r, s, t : 4*s, lambda r, s, t : 4*r, lambda r, s, t : 0]
dN7 = [lambda r, s, t : -4*s, lambda r, s, t : -4*r - 8*s - 4*t + 4, lambda r, s, t : -4*s]
dN8 = [lambda r, s, t : -4*t, lambda r, s, t : -4*t, lambda r, s, t : -4*r - 4*s - 8*t + 4]
dN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 4*t, lambda r, s, t : 4*s]
dN10 = [lambda r, s, t : 4*t, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 4*r]

ddN1 = [lambda r, s, t : 4, lambda r, s, t : 4, lambda r, s, t : 4]
ddN2 = [lambda r, s, t : 4, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 4, lambda r, s, t : 0]
ddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 4]
ddN5 = [lambda r, s, t : -8, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -8, lambda r, s, t : 0]
ddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -8]
ddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

dddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

ddddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]



==================== HEXA8 ====================
N1 = lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/8
N2 = lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/8
N3 = lambda r, s, t : -(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/8
N4 = lambda r, s, t : (r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/8
N5 = lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/8
N6 = lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/8
N7 = lambda r, s, t : (r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/8
N8 = lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/8

dN1 = [lambda r, s, t : -(s - 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : -(r - 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)/8]
dN2 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : (r + 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)/8]
dN3 = [lambda r, s, t : -(s + 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : -(r + 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s + 1)/8]
dN4 = [lambda r, s, t : (s + 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : (r - 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : (r - 1)*(s + 1)/8]
dN5 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : (r - 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)/8]
dN6 = [lambda r, s, t : -(s - 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : -(r + 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)/8]
dN7 = [lambda r, s, t : (s + 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : (r + 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : (r + 1)*(s + 1)/8]
dN8 = [lambda r, s, t : -(s + 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : -(r - 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)/8]

ddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

dddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

ddddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]



=================== HEXA20 ===================
N1 = lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(t - 1)*(r + s + t + 2)/8
N2 = lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)*(t - 1)*(r - s - t - 2)/8
N3 = lambda r, s, t : -(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(r + s - t - 2)/8
N4 = lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(r - s + t + 2)/8
N5 = lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(t + 1)*(r + s - t + 2)/8
N6 = lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)*(r - s + t - 2)/8
N7 = lambda r, s, t : (r + 1)*(s + 1)*(t + 1)*(r + s + t - 2)/8
N8 = lambda r, s, t : (r - 1)*(s + 1)*(t + 1)*(r - s - t + 2)/8
N9 = lambda r, s, t : -(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4
N10 = lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4
N11 = lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4
N12 = lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4
N13 = lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4
N14 = lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4
N15 = lambda r, s, t : -(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4
N16 = lambda r, s, t : (r - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4
N17 = lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/4
N18 = lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4
N19 = lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4
N20 = lambda r, s, t : -(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/4

dN1 = [lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/8 + (s - 1)*(t - 1)*(r + s + t + 2)/8, lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/8 + (r - 1)*(t - 1)*(r + s + t + 2)/8, lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/8 + (r - 1)*(s - 1)*(r + s + t + 2)/8]
dN2 = [lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/8 + (s - 1)*(t - 1)*(r - s - t - 2)/8, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/8 + (r + 1)*(t - 1)*(r - s - t - 2)/8, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/8 + (r + 1)*(s - 1)*(r - s - t - 2)/8]
dN3 = [lambda r, s, t : -(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/8 - (s + 1)*(t - 1)*(r + s - t - 2)/8, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/8 - (r + 1)*(t - 1)*(r + s - t - 2)/8, lambda r, s, t : (r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/8 - (r + 1)*(s + 1)*(r + s - t - 2)/8]
dN4 = [lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/8 - (s + 1)*(t - 1)*(r - s + t + 2)/8, lambda r, s, t : (r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/8 - (r - 1)*(t - 1)*(r - s + t + 2)/8, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/8 - (r - 1)*(s + 1)*(r - s + t + 2)/8]
dN5 = [lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/8 - (s - 1)*(t + 1)*(r + s - t + 2)/8, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/8 - (r - 1)*(t + 1)*(r + s - t + 2)/8, lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/8 - (r - 1)*(s - 1)*(r + s - t + 2)/8]
dN6 = [lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/8 - (s - 1)*(t + 1)*(r - s + t - 2)/8, lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/8 - (r + 1)*(t + 1)*(r - s + t - 2)/8, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/8 - (r + 1)*(s - 1)*(r - s + t - 2)/8]
dN7 = [lambda r, s, t : (r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/8 + (s + 1)*(t + 1)*(r + s + t - 2)/8, lambda r, s, t : (r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/8 + (r + 1)*(t + 1)*(r + s + t - 2)/8, lambda r, s, t : (r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/8 + (r + 1)*(s + 1)*(r + s + t - 2)/8]
dN8 = [lambda r, s, t : (r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/8 + (s + 1)*(t + 1)*(r - s - t + 2)/8, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/8 + (r - 1)*(t + 1)*(r - s - t + 2)/8, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/8 + (r - 1)*(s + 1)*(r - s - t + 2)/8]
dN9 = [lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/4 - (r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(r + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)/4]
dN10 = [lambda r, s, t : -(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/4 - (r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)/4]
dN11 = [lambda r, s, t : -(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/4 - (r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/4]
dN12 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4 + (r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/4]
dN13 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4 + (r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/4]
dN14 = [lambda r, s, t : (r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4 + (r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(s + 1)/4]
dN15 = [lambda r, s, t : -(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4 - (r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/4]
dN16 = [lambda r, s, t : (s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4 + (r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4]
dN17 = [lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/4 + (r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)/4]
dN18 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/4 + (r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(s + 1)/4]
dN19 = [lambda r, s, t : -(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/4 - (r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/4]
dN20 = [lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4 - (r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(r + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)/4]

ddN1 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)/4]
ddN2 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -(r + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)/4]
ddN3 = [lambda r, s, t : -(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -(r + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : (r + 1)*(s + 1)/4]
ddN4 = [lambda r, s, t : -(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)/4]
ddN5 = [lambda r, s, t : -(s - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)/4]
ddN6 = [lambda r, s, t : -(s - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)/4]
ddN7 = [lambda r, s, t : (s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r + 1)*(s + 1)/4]
ddN8 = [lambda r, s, t : (s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)/4]
ddN9 = [lambda r, s, t : -(s - 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -(r - 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : 0]
ddN11 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)/2]
ddN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : (r + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : 0]
ddN13 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)/2]
ddN14 = [lambda r, s, t : (s + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN15 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s + 1)/2]
ddN16 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : (r - 1)*(s + 1)/2]
ddN17 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN18 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : (r - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : 0]
ddN19 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -(r + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : 0]
ddN20 = [lambda r, s, t : -(s + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

dddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
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dddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
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ddddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
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ddddN20 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]



=================== HEXA27 ===================
N1 = lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/8
N2 = lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/8
N3 = lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/8
N4 = lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/8
N5 = lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/8
N6 = lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/8
N7 = lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/8
N8 = lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/8
N9 = lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4
N10 = lambda r, s, t : -r*t*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4
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N12 = lambda r, s, t : -r*t*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4
N13 = lambda r, s, t : -r*s*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4
N14 = lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4
N15 = lambda r, s, t : -r*s*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4
N16 = lambda r, s, t : -r*s*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4
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N24 = lambda r, s, t : r*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2
N25 = lambda r, s, t : s*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2
N26 = lambda r, s, t : t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/2
N27 = lambda r, s, t : -(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)

dN1 = [lambda r, s, t : r*s*t*(s - 1)*(t - 1)/8 + s*t*(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(t - 1)/8 + r*t*(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(s - 1)/8 + r*s*(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/8]
dN2 = [lambda r, s, t : r*s*t*(s - 1)*(t - 1)/8 + s*t*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(t - 1)/8 + r*t*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(s - 1)/8 + r*s*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/8]
dN3 = [lambda r, s, t : r*s*t*(s + 1)*(t - 1)/8 + s*t*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(t - 1)/8 + r*t*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(s + 1)/8 + r*s*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/8]
dN4 = [lambda r, s, t : r*s*t*(s + 1)*(t - 1)/8 + s*t*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(t - 1)/8 + r*t*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(s + 1)/8 + r*s*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/8]
dN5 = [lambda r, s, t : r*s*t*(s - 1)*(t + 1)/8 + s*t*(r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(t + 1)/8 + r*t*(r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(s - 1)/8 + r*s*(r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/8]
dN6 = [lambda r, s, t : r*s*t*(s - 1)*(t + 1)/8 + s*t*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(t + 1)/8 + r*t*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(s - 1)/8 + r*s*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/8]
dN7 = [lambda r, s, t : r*s*t*(s + 1)*(t + 1)/8 + s*t*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(t + 1)/8 + r*t*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(s + 1)/8 + r*s*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/8]
dN8 = [lambda r, s, t : r*s*t*(s + 1)*(t + 1)/8 + s*t*(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(t + 1)/8 + r*t*(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(s + 1)/8 + r*s*(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/8]
dN9 = [lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/4 - s*t*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(t - 1)/4 - t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)/4 - s*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4]
dN10 = [lambda r, s, t : -r*t*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4 - t*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -r*t*(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/4 - r*t*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -r*t*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)/4 - r*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4]
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dN12 = [lambda r, s, t : -r*t*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4 - t*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -r*t*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4 - r*t*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -r*t*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/4 - r*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4]
dN13 = [lambda r, s, t : -r*s*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4 - s*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*s*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4 - r*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*s*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4 - r*s*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/4]
dN14 = [lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4 - s*t*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(t - 1)/4 - t*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)/4 - s*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4]
dN15 = [lambda r, s, t : -r*s*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4 - s*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*s*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4 - r*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*s*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4 - r*s*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/4]
dN16 = [lambda r, s, t : -r*s*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4 - s*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*s*(r - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4 - r*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*s*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4 - r*s*(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4]
dN17 = [lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/4 - s*t*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(t + 1)/4 - t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)/4 - s*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/4]
dN18 = [lambda r, s, t : -r*t*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4 - t*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*t*(r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/4 - r*t*(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*t*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)/4 - r*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4]
dN19 = [lambda r, s, t : -r*t*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4 - t*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*t*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/4 - r*t*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*t*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/4 - r*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4]
dN20 = [lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4 - s*t*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(t + 1)/4 - t*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)/4 - s*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/4]
dN21 = [lambda r, s, t : t*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/2 + t*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/2 + t*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/2 + (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/2]
dN22 = [lambda r, s, t : s*(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/2 + s*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : s*(r - 1)*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2 + (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : s*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/2 + s*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/2]
dN23 = [lambda r, s, t : r*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2 + (r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : r*(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/2 + r*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : r*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/2 + r*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/2]
dN24 = [lambda r, s, t : r*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2 + (r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : r*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/2 + r*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : r*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/2 + r*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/2]
dN25 = [lambda r, s, t : s*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2 + s*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : s*(r - 1)*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2 + (r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : s*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/2 + s*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/2]
dN26 = [lambda r, s, t : t*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/2 + t*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/2 + t*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/2 + (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/2]
dN27 = [lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1) - (r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1) - (r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1) - (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)]

ddN1 = [lambda r, s, t : s*t*(s - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : r*t*(r - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : r*s*(r - 1)*(s - 1)/4]
ddN2 = [lambda r, s, t : s*t*(s - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : r*t*(r + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : r*s*(r + 1)*(s - 1)/4]
ddN3 = [lambda r, s, t : s*t*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : r*t*(r + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : r*s*(r + 1)*(s + 1)/4]
ddN4 = [lambda r, s, t : s*t*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : r*t*(r - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : r*s*(r - 1)*(s + 1)/4]
ddN5 = [lambda r, s, t : s*t*(s - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : r*t*(r - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : r*s*(r - 1)*(s - 1)/4]
ddN6 = [lambda r, s, t : s*t*(s - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : r*t*(r + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : r*s*(r + 1)*(s - 1)/4]
ddN7 = [lambda r, s, t : s*t*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : r*t*(r + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : r*s*(r + 1)*(s + 1)/4]
ddN8 = [lambda r, s, t : s*t*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : r*t*(r - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : r*s*(r - 1)*(s + 1)/4]
ddN9 = [lambda r, s, t : -s*t*(s - 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : -t*(r - 1)*(r + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : -s*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)/2]
ddN10 = [lambda r, s, t : -t*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : -r*t*(r - 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : -r*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)/2]
ddN11 = [lambda r, s, t : -s*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*(r - 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*s*(r - 1)*(s - 1)/2]
ddN12 = [lambda r, s, t : -t*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : -r*t*(r + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : -r*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/2]
ddN13 = [lambda r, s, t : -s*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*s*(r + 1)*(s - 1)/2]
ddN14 = [lambda r, s, t : -s*t*(s + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : -t*(r - 1)*(r + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : -s*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)/2]
ddN15 = [lambda r, s, t : -s*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*s*(r + 1)*(s + 1)/2]
ddN16 = [lambda r, s, t : -s*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*(r - 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*s*(r - 1)*(s + 1)/2]
ddN17 = [lambda r, s, t : -s*t*(s - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -t*(r - 1)*(r + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -s*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)/2]
ddN18 = [lambda r, s, t : -t*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*t*(r - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)/2]
ddN19 = [lambda r, s, t : -t*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*t*(r + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/2]
ddN20 = [lambda r, s, t : -s*t*(s + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -t*(r - 1)*(r + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -s*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)/2]
ddN21 = [lambda r, s, t : t*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1), lambda r, s, t : t*(r - 1)*(r + 1)*(t - 1), lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)]
ddN22 = [lambda r, s, t : s*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : s*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)]
ddN23 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : r*(r - 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : r*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)]
ddN24 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : r*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : r*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)]
ddN25 = [lambda r, s, t : s*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : s*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)]
ddN26 = [lambda r, s, t : t*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1), lambda r, s, t : t*(r - 1)*(r + 1)*(t + 1), lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)]
ddN27 = [lambda r, s, t : -2*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -2*(r - 1)*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -2*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)]

dddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN11 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN13 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN14 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN15 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN16 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN17 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN18 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN19 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN20 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN21 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN22 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN23 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN24 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN25 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN26 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN27 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

ddddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN11 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN13 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN14 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN15 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN16 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN17 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN18 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN19 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN20 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN21 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN22 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN23 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN24 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN25 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN26 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN27 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]



=================== PRISM6 ===================
N1 = lambda r, s, t : (t - 1)*(r + s - 1)/2
N2 = lambda r, s, t : -r*(t - 1)/2
N3 = lambda r, s, t : -s*(t - 1)/2
N4 = lambda r, s, t : -(t + 1)*(r + s - 1)/2
N5 = lambda r, s, t : r*(t + 1)/2
N6 = lambda r, s, t : s*(t + 1)/2

dN1 = [lambda r, s, t : t/2 - 1/2, lambda r, s, t : t/2 - 1/2, lambda r, s, t : r/2 + s/2 - 1/2]
dN2 = [lambda r, s, t : 1/2 - t/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -r/2]
dN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 1/2 - t/2, lambda r, s, t : -s/2]
dN4 = [lambda r, s, t : -t/2 - 1/2, lambda r, s, t : -t/2 - 1/2, lambda r, s, t : -r/2 - s/2 + 1/2]
dN5 = [lambda r, s, t : t/2 + 1/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : r/2]
dN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : t/2 + 1/2, lambda r, s, t : s/2]

ddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

dddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

ddddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]



=================== PRISM15 ===================
N1 = lambda r, s, t : -(t - 1)*(r + s - 1)*(2*r + 2*s + t)/2
N2 = lambda r, s, t : -r*(t - 1)*(2*r - t - 2)/2
N3 = lambda r, s, t : -s*(t - 1)*(2*s - t - 2)/2
N4 = lambda r, s, t : (t + 1)*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - t)/2
N5 = lambda r, s, t : r*(t + 1)*(2*r + t - 2)/2
N6 = lambda r, s, t : s*(t + 1)*(2*s + t - 2)/2
N7 = lambda r, s, t : 2*r*(t - 1)*(r + s - 1)
N8 = lambda r, s, t : 2*s*(t - 1)*(r + s - 1)
N9 = lambda r, s, t : (t - 1)*(t + 1)*(r + s - 1)
N10 = lambda r, s, t : -2*r*s*(t - 1)
N11 = lambda r, s, t : -r*(t - 1)*(t + 1)
N12 = lambda r, s, t : -s*(t - 1)*(t + 1)
N13 = lambda r, s, t : -2*r*(t + 1)*(r + s - 1)
N14 = lambda r, s, t : -2*s*(t + 1)*(r + s - 1)
N15 = lambda r, s, t : 2*r*s*(t + 1)

dN1 = [lambda r, s, t : -(t - 1)*(r + s - 1) - (t - 1)*(2*r + 2*s + t)/2, lambda r, s, t : -(t - 1)*(r + s - 1) - (t - 1)*(2*r + 2*s + t)/2, lambda r, s, t : -(t - 1)*(r + s - 1)/2 - (r + s - 1)*(2*r + 2*s + t)/2]
dN2 = [lambda r, s, t : -r*(t - 1) - (t - 1)*(2*r - t - 2)/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : r*(t - 1)/2 - r*(2*r - t - 2)/2]
dN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -s*(t - 1) - (t - 1)*(2*s - t - 2)/2, lambda r, s, t : s*(t - 1)/2 - s*(2*s - t - 2)/2]
dN4 = [lambda r, s, t : (t + 1)*(r + s - 1) + (t + 1)*(2*r + 2*s - t)/2, lambda r, s, t : (t + 1)*(r + s - 1) + (t + 1)*(2*r + 2*s - t)/2, lambda r, s, t : -(t + 1)*(r + s - 1)/2 + (r + s - 1)*(2*r + 2*s - t)/2]
dN5 = [lambda r, s, t : r*(t + 1) + (t + 1)*(2*r + t - 2)/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : r*(t + 1)/2 + r*(2*r + t - 2)/2]
dN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : s*(t + 1) + (t + 1)*(2*s + t - 2)/2, lambda r, s, t : s*(t + 1)/2 + s*(2*s + t - 2)/2]
dN7 = [lambda r, s, t : 2*r*(t - 1) + 2*(t - 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : 2*r*(t - 1), lambda r, s, t : 2*r*(r + s - 1)]
dN8 = [lambda r, s, t : 2*s*(t - 1), lambda r, s, t : 2*s*(t - 1) + 2*(t - 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : 2*s*(r + s - 1)]
dN9 = [lambda r, s, t : (t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : (t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : (t - 1)*(r + s - 1) + (t + 1)*(r + s - 1)]
dN10 = [lambda r, s, t : -2*s*(t - 1), lambda r, s, t : -2*r*(t - 1), lambda r, s, t : -2*r*s]
dN11 = [lambda r, s, t : -(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -r*(t - 1) - r*(t + 1)]
dN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -s*(t - 1) - s*(t + 1)]
dN13 = [lambda r, s, t : -2*r*(t + 1) - 2*(t + 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : -2*r*(t + 1), lambda r, s, t : -2*r*(r + s - 1)]
dN14 = [lambda r, s, t : -2*s*(t + 1), lambda r, s, t : -2*s*(t + 1) - 2*(t + 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : -2*s*(r + s - 1)]
dN15 = [lambda r, s, t : 2*s*(t + 1), lambda r, s, t : 2*r*(t + 1), lambda r, s, t : 2*r*s]

ddN1 = [lambda r, s, t : 2 - 2*t, lambda r, s, t : 2 - 2*t, lambda r, s, t : -r - s + 1]
ddN2 = [lambda r, s, t : 2 - 2*t, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : r]
ddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 2 - 2*t, lambda r, s, t : s]
ddN4 = [lambda r, s, t : 2*t + 2, lambda r, s, t : 2*t + 2, lambda r, s, t : -r - s + 1]
ddN5 = [lambda r, s, t : 2*t + 2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : r]
ddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 2*t + 2, lambda r, s, t : s]
ddN7 = [lambda r, s, t : 4*t - 4, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 4*t - 4, lambda r, s, t : 0]
ddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 2*r + 2*s - 2]
ddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN11 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -2*r]
ddN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -2*s]
ddN13 = [lambda r, s, t : -4*t - 4, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN14 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -4*t - 4, lambda r, s, t : 0]
ddN15 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

dddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN11 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN13 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN14 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN15 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

ddddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN11 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN13 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN14 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN15 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]



=================== PRISM18 ===================
N1 = lambda r, s, t : t*(t - 1)*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)/2
N2 = lambda r, s, t : r*t*(2*r - 1)*(t - 1)/2
N3 = lambda r, s, t : s*t*(2*s - 1)*(t - 1)/2
N4 = lambda r, s, t : t*(t + 1)*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)/2
N5 = lambda r, s, t : r*t*(2*r - 1)*(t + 1)/2
N6 = lambda r, s, t : s*t*(2*s - 1)*(t + 1)/2
N7 = lambda r, s, t : -2*r*t*(t - 1)*(r + s - 1)
N8 = lambda r, s, t : -2*s*t*(t - 1)*(r + s - 1)
N9 = lambda r, s, t : -(t - 1)*(t + 1)*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)
N10 = lambda r, s, t : 2*r*s*t*(t - 1)
N11 = lambda r, s, t : -r*(2*r - 1)*(t - 1)*(t + 1)
N12 = lambda r, s, t : -s*(2*s - 1)*(t - 1)*(t + 1)
N13 = lambda r, s, t : -2*r*t*(t + 1)*(r + s - 1)
N14 = lambda r, s, t : -2*s*t*(t + 1)*(r + s - 1)
N15 = lambda r, s, t : 2*r*s*t*(t + 1)
N16 = lambda r, s, t : 4*r*(t - 1)*(t + 1)*(r + s - 1)
N17 = lambda r, s, t : 4*s*(t - 1)*(t + 1)*(r + s - 1)
N18 = lambda r, s, t : -4*r*s*(t - 1)*(t + 1)

dN1 = [lambda r, s, t : t*(t - 1)*(r + s - 1) + t*(t - 1)*(2*r + 2*s - 1)/2, lambda r, s, t : t*(t - 1)*(r + s - 1) + t*(t - 1)*(2*r + 2*s - 1)/2, lambda r, s, t : t*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)/2 + (t - 1)*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)/2]
dN2 = [lambda r, s, t : r*t*(t - 1) + t*(2*r - 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : r*t*(2*r - 1)/2 + r*(2*r - 1)*(t - 1)/2]
dN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : s*t*(t - 1) + t*(2*s - 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : s*t*(2*s - 1)/2 + s*(2*s - 1)*(t - 1)/2]
dN4 = [lambda r, s, t : t*(t + 1)*(r + s - 1) + t*(t + 1)*(2*r + 2*s - 1)/2, lambda r, s, t : t*(t + 1)*(r + s - 1) + t*(t + 1)*(2*r + 2*s - 1)/2, lambda r, s, t : t*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)/2 + (t + 1)*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)/2]
dN5 = [lambda r, s, t : r*t*(t + 1) + t*(2*r - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : r*t*(2*r - 1)/2 + r*(2*r - 1)*(t + 1)/2]
dN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : s*t*(t + 1) + t*(2*s - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : s*t*(2*s - 1)/2 + s*(2*s - 1)*(t + 1)/2]
dN7 = [lambda r, s, t : -2*r*t*(t - 1) - 2*t*(t - 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : -2*r*t*(t - 1), lambda r, s, t : -2*r*t*(r + s - 1) - 2*r*(t - 1)*(r + s - 1)]
dN8 = [lambda r, s, t : -2*s*t*(t - 1), lambda r, s, t : -2*s*t*(t - 1) - 2*t*(t - 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : -2*s*t*(r + s - 1) - 2*s*(t - 1)*(r + s - 1)]
dN9 = [lambda r, s, t : -2*(t - 1)*(t + 1)*(r + s - 1) - (t - 1)*(t + 1)*(2*r + 2*s - 1), lambda r, s, t : -2*(t - 1)*(t + 1)*(r + s - 1) - (t - 1)*(t + 1)*(2*r + 2*s - 1), lambda r, s, t : -(t - 1)*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1) - (t + 1)*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)]
dN10 = [lambda r, s, t : 2*s*t*(t - 1), lambda r, s, t : 2*r*t*(t - 1), lambda r, s, t : 2*r*s*t + 2*r*s*(t - 1)]
dN11 = [lambda r, s, t : -2*r*(t - 1)*(t + 1) - (2*r - 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -r*(2*r - 1)*(t - 1) - r*(2*r - 1)*(t + 1)]
dN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -2*s*(t - 1)*(t + 1) - (2*s - 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -s*(2*s - 1)*(t - 1) - s*(2*s - 1)*(t + 1)]
dN13 = [lambda r, s, t : -2*r*t*(t + 1) - 2*t*(t + 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : -2*r*t*(t + 1), lambda r, s, t : -2*r*t*(r + s - 1) - 2*r*(t + 1)*(r + s - 1)]
dN14 = [lambda r, s, t : -2*s*t*(t + 1), lambda r, s, t : -2*s*t*(t + 1) - 2*t*(t + 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : -2*s*t*(r + s - 1) - 2*s*(t + 1)*(r + s - 1)]
dN15 = [lambda r, s, t : 2*s*t*(t + 1), lambda r, s, t : 2*r*t*(t + 1), lambda r, s, t : 2*r*s*t + 2*r*s*(t + 1)]
dN16 = [lambda r, s, t : 4*r*(t - 1)*(t + 1) + 4*(t - 1)*(t + 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : 4*r*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : 4*r*(t - 1)*(r + s - 1) + 4*r*(t + 1)*(r + s - 1)]
dN17 = [lambda r, s, t : 4*s*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : 4*s*(t - 1)*(t + 1) + 4*(t - 1)*(t + 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : 4*s*(t - 1)*(r + s - 1) + 4*s*(t + 1)*(r + s - 1)]
dN18 = [lambda r, s, t : -4*s*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -4*r*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -4*r*s*(t - 1) - 4*r*s*(t + 1)]

ddN1 = [lambda r, s, t : 2*t*(t - 1), lambda r, s, t : 2*t*(t - 1), lambda r, s, t : (r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)]
ddN2 = [lambda r, s, t : 2*t*(t - 1), lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : r*(2*r - 1)]
ddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 2*t*(t - 1), lambda r, s, t : s*(2*s - 1)]
ddN4 = [lambda r, s, t : 2*t*(t + 1), lambda r, s, t : 2*t*(t + 1), lambda r, s, t : (r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)]
ddN5 = [lambda r, s, t : 2*t*(t + 1), lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : r*(2*r - 1)]
ddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 2*t*(t + 1), lambda r, s, t : s*(2*s - 1)]
ddN7 = [lambda r, s, t : -4*t*(t - 1), lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -4*r*(r + s - 1)]
ddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -4*t*(t - 1), lambda r, s, t : -4*s*(r + s - 1)]
ddN9 = [lambda r, s, t : -4*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -4*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -2*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)]
ddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 4*r*s]
ddN11 = [lambda r, s, t : -4*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -2*r*(2*r - 1)]
ddN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -4*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -2*s*(2*s - 1)]
ddN13 = [lambda r, s, t : -4*t*(t + 1), lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -4*r*(r + s - 1)]
ddN14 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -4*t*(t + 1), lambda r, s, t : -4*s*(r + s - 1)]
ddN15 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 4*r*s]
ddN16 = [lambda r, s, t : 8*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 8*r*(r + s - 1)]
ddN17 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 8*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : 8*s*(r + s - 1)]
ddN18 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -8*r*s]

dddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN11 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN13 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN14 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN15 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN16 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN17 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN18 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

ddddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN11 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN13 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN14 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN15 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN16 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN17 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN18 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]


  15 import numpy as np
  16 import matplotlib.pyplot as plt
  17 from EasyFEA import Display
  18
  19 try:
  20     import sympy
  21 except ModuleNotFoundError:
  22     raise Exception("sympy must be installed!")
  23
  24 Display.Clear()
  25
  26 # SEGMENTS
  27 # TRIANGLES
  28 # QUADRANGLES
  29 # TETRAHEDRON
  30 # HEXAHEDRON
  31 # PRISM
  32
  33 # ----------------------------------------------
  34 # Options
  35 # ----------------------------------------------
  36
  37 plot_dN = True
  38 plot_ddN = True
  39 plot_dddN = True
  40 plot_ddddN = True
  41
  42 # coords = sympy.symbols("x, y, z")
  43 coords = sympy.symbols("r, s, t")
  44
  45 # ----------------------------------------------
  46 # Public functions
  47 # ----------------------------------------------
  48
  49
  50 def Compute_and_Print(
  51     polynom, *args, useSimplify=True, useFactor=True, useEulerBernoulli=False
  52 ):
  53     """Compute and print shape functions and their derivatives for a given polynom.
  54
  55     Parameters
  56     ----------
  57     polynom : function
  58         Polynomial basis function taking 1, 2, or 3 arguments.
  59     args : tuple
  60         Coordinates (1, 2, or 3 lists of x, y, z).
  61     useSimplify : bool, optional
  62         Simplify the shape functions. Default is True.
  63     useFactor : bool, optional
  64         Factor the shape functions. Default is True.
  65     useEulerBernoulli : bool, optional
  66         useEulerBernoulli shape functions. Default is False.
  67     """
  68
  69     local_coords, dim = __Get_local_coords_and_dim(*args)
  70
  71     shape_functions = __Get_shape_functions(
  72         polynom, local_coords, dim, useSimplify, useFactor, useEulerBernoulli
  73     )
  74
  75     __Print_functions(shape_functions, dim, "N")
  76
  77     # derivative_shape_functions
  78     if plot_dN:
  79         dN_functions = __Get_derivative_functions(shape_functions, dim, 1)
  80         __Print_functions(dN_functions, dim, "dN")
  81
  82     if plot_ddN:
  83         ddN_functions = __Get_derivative_functions(shape_functions, dim, 2)
  84         __Print_functions(ddN_functions, dim, "ddN")
  85
  86     if plot_dddN:
  87         dddN_functions = __Get_derivative_functions(shape_functions, dim, 3)
  88         __Print_functions(dddN_functions, dim, "dddN")
  89
  90     if plot_ddddN:
  91         ddddN_functions = __Get_derivative_functions(shape_functions, dim, 4)
  92         __Print_functions(ddddN_functions, dim, "ddddN")
  93
  94
  95 def Plot_Nodes(title: str, *args):
  96     local_coords, dim = __Get_local_coords_and_dim(*args)
  97     nPe = local_coords.shape[0]
  98
  99     list_x, list_y, list_z = local_coords.T
 100
 101     if dim == 3:
 102         ax = Display.Init_Axes(3, elev=16, azim=37)
 103         ax.set_xlabel("x")
 104         ax.set_ylabel("y")
 105         ax.set_zlabel("z")
 106         ax.set_title(title)
 107         ax.axis("equal")
 108
 109         ax.scatter(list_x, list_y, list_z)
 110         [ax.text(list_x[i], list_y[i], list_z[i], i) for i in range(nPe)]
 111     else:
 112         ax = Display.Init_Axes(2)
 113         ax.set_xlabel("x")
 114         ax.set_ylabel("y")
 115         ax.set_title(title)
 116         ax.axis("equal")
 117         ax.grid(zorder=-10)
 118
 119         ax.scatter(list_x, list_y)
 120         [ax.text(list_x[i], list_y[i], i + 1) for i in range(nPe)]
 121
 122
 123 # ----------------------------------------------
 124 # Private functions do not touch
 125 # ----------------------------------------------
 126
 127
 128 def __Get_local_coords_and_dim(*args):
 129     # Get dim
 130     dim = len(args)
 131     assert dim in [1, 2, 3], "The number of lists in args must be 1, 2, or 3."
 132
 133     # Get coordinates
 134     list_x = args[0]
 135     nPe = len(list_x)
 136
 137     list_y = args[1] if dim > 1 else [0] * nPe
 138     assert (
 139         len(list_y) == nPe
 140     ), "The length of list_y must be equal to the length of list_x."
 141
 142     list_z = args[2] if dim > 2 else [0] * nPe
 143     assert (
 144         len(list_z) == nPe
 145     ), "The length of list_z must be equal to the length of list_x."
 146
 147     local_coords = np.array([list_x, list_y, list_z]).T
 148
 149     return local_coords, dim
 150
 151
 152 def __Get_shape_functions(
 153     polynom,
 154     local_coords: np.ndarray,
 155     dim: int,
 156     useSimplify=True,
 157     useFactor=True,
 158     useEulerBernoulli=False,
 159 ) -> list:
 160     nPe = local_coords.shape[0]
 161
 162     nF = __Get_functions_per_node(polynom, local_coords, dim)
 163
 164     if useEulerBernoulli:
 165         assert nF == 2, "euler bernoulli shape functions use 2 functions per node!"
 166
 167     # construct matrix a
 168     matrix_A = __Get_matrix_A(polynom, local_coords, dim)
 169
 170     # Get symbols and coords symbols
 171     symbols = sympy.symbols(f"x0:{nPe * nF}")
 172
 173     functions = []
 174
 175     for i in range(nPe * nF):
 176         # construct vector b
 177         vector_b = np.zeros(nPe * nF)
 178         if useEulerBernoulli:
 179             vector_b[i] = 1 if i % 2 == 0 else 1 / 2
 180             coefs = polynom(*coords[:dim])[0]
 181         else:
 182             vector_b[i] = 1
 183             coefs = polynom(*coords[:dim])
 184
 185         # solve x from A x = b
 186         vector_x = np.linalg.solve(matrix_A, vector_b)
 187         # check that A x = b
 188         assert np.linalg.norm(matrix_A @ vector_x - vector_b) <= 1e-12
 189
 190         # construct shape function
 191         function = sum(coef * term for coef, term in zip(symbols, coefs))
 192         # apply values
 193         function = function.subs({key: value for key, value in zip(symbols, vector_x)})
 194
 195         # apply function display properties
 196         function = __chop(function)
 197         if useSimplify:
 198             function = function.nsimplify()
 199         if useFactor:
 200             function = function.factor()
 201
 202         functions.append(function)
 203
 204     return functions
 205
 206
 207 def __Get_matrix_A(polynom, local_coords: np.ndarray, dim: int):
 208     nPe = local_coords.shape[0]
 209
 210     nF = __Get_functions_per_node(polynom, local_coords, dim)
 211     indexes = np.arange(nPe * nF)
 212     if nF > 1:
 213         indexes = indexes.reshape(-1, 2)
 214
 215     matrix_A = np.zeros((nPe * nF, nPe * nF))
 216
 217     for n in range(nPe):
 218         matrix_A[indexes[n], :] = polynom(*local_coords[n, :dim])
 219
 220     return matrix_A
 221
 222
 223 def __Get_functions_per_node(polynom, local_coords: np.ndarray, dim: int) -> int:
 224     eval = np.array(polynom(*local_coords[0, :dim]))
 225     if len(eval.shape) == 2:
 226         return eval.shape[0]
 227     elif len(eval.shape) == 1:
 228         return 1
 229     else:
 230         raise Exception("polynom must be a function or a list of functions.")
 231
 232
 233 def __Get_derivative_functions(functions, dim, order):
 234     assert isinstance(functions, list), "functions must be a list"
 235     assert dim in [1, 2, 3]
 236     assert order >= 1 and isinstance(order, int), "order must be >= 1"
 237
 238     derivative_functions = []
 239
 240     for function in functions:
 241         functions_per_dim = []
 242
 243         # loop on dimensions
 244         for coord in coords[:dim]:
 245             func = function  # copy of `function`
 246             # loop to derive the func function
 247             for _ in range(order):
 248                 func = func.diff(coord)
 249             functions_per_dim.append(func)
 250
 251         derivative_functions.append(functions_per_dim)
 252
 253     return derivative_functions
 254
 255
 256 def __Print_functions(functions: list, dim: int, name="", printArray=False):
 257     # lamba string (e.g. lamda r, s)
 258     lambda_str = f"lambda {', '.join(str(coord) for coord in coords[:dim])}"
 259
 260     # print each functions
 261     for i, function in enumerate(functions):
 262         if isinstance(function, list):
 263             print(
 264                 f"{name}{i + 1} = [{', '.join(f'{lambda_str} : {func}' for func in function)}]"
 265             )
 266         else:
 267             print(f"{name}{i + 1} = {lambda_str} : {function}")
 268
 269     print()
 270     if printArray:
 271         end = ".reshape(-1, 1)" if len(np.shape(functions)) == 1 else ""
 272         nF = len(functions)
 273         print(
 274             f"{name} = np.array([{', '.join(f'{name}{i + 1}' for i in range(nF))}]){end}\n"
 275         )
 276
 277
 278 def __chop(expr):
 279     """Recursive function that replaces small values in the sympy expression with zero."""
 280     if isinstance(expr, sympy.Float) and abs(expr) < 1e-12:
 281         return sympy.S.Zero
 282     elif isinstance(expr, sympy.Add):
 283         return sympy.Add(*[__chop(arg) for arg in expr.args])
 284     elif isinstance(expr, sympy.Mul):
 285         return sympy.Mul(*[__chop(arg) for arg in expr.args])
 286     elif isinstance(expr, sympy.Pow):
 287         return sympy.Pow(__chop(expr.base), expr.exp)
 288     else:
 289         return expr
 290
 291
 292 # ----------------------------------------------
 293 # SEGMENTS
 294 # ----------------------------------------------
 295
 296
 297 def Do_Segments():
 298     # ----------------------------------------------
 299     # SEG 2
 300     # ----------------------------------------------
 301     #       v
 302     #       ^
 303     #       |
 304     #       |
 305     #  0----+----1 --> u
 306     # ----------------------------------------------
 307
 308     name = "SEG2"
 309     Display.Section(name)
 310
 311     list_x = [-1, 1]
 312     Plot_Nodes(name, list_x)
 313
 314     polynom = lambda x: [x, 1]
 315     Compute_and_Print(polynom, list_x)
 316
 317     Display.Section(name + " EulerBernoulli")
 318     polynom = lambda x: [[1, x, x**2, x**3], [0, 1, 2 * x, 3 * x**2]]
 319     Compute_and_Print(polynom, list_x, useEulerBernoulli=True)
 320
 321     # ----------------------------------------------
 322     # SEG 3
 323     # ----------------------------------------------
 324     #       v
 325     #       ^
 326     #       |
 327     #       |
 328     #  0----2----1 --> u
 329     # ----------------------------------------------
 330
 331     name = "SEG3"
 332     Display.Section(name)
 333
 334     list_x = [-1, 1, 0]
 335     Plot_Nodes(name, list_x)
 336
 337     polynom = lambda x: [x**2, x, 1]
 338     Compute_and_Print(polynom, list_x)
 339
 340     Display.Section(name + " EulerBernoulli")
 341     polynom = lambda x: [
 342         [1, x, x**2, x**3, x**4, x**5],
 343         [0, 1, 2 * x, 3 * x**2, 4 * x**3, 5 * x**4],
 344     ]
 345     Compute_and_Print(polynom, list_x, useEulerBernoulli=True)
 346
 347     # ----------------------------------------------
 348     # SEG 4
 349     # ----------------------------------------------
 350     #        v
 351     #        ^
 352     #        |
 353     #        |
 354     #  0---2-+-3---1 --> u
 355     # ----------------------------------------------
 356
 357     name = "SEG4"
 358     Display.Section(name)
 359
 360     list_x = [-1, 1, -1 / 3, 1 / 3]
 361     Plot_Nodes(name, list_x)
 362
 363     polynom = lambda x: [x**3, x**2, x, 1]
 364     Compute_and_Print(polynom, list_x, useFactor=False)
 365
 366     Display.Section(name + " EulerBernoulli")
 367     polynom = lambda x: [
 368         [1, x, x**2, x**3, x**4, x**5, x**6, x**7],
 369         [0, 1, 2 * x, 3 * x**2, 4 * x**3, 5 * x**4, 6 * x**5, 7 * x**6],
 370     ]
 371     Compute_and_Print(polynom, list_x, useEulerBernoulli=True, useFactor=False)
 372
 373     # ----------------------------------------------
 374     # SEG 5
 375     # ----------------------------------------------
 376     #        v
 377     #        ^
 378     #        |
 379     #        |
 380     #  0--2--3--4--1 --> u
 381     # ----------------------------------------------
 382
 383     name = "SEG5"
 384     Display.Section(name)
 385
 386     list_x = [-1, 1, -1 / 2, 0, 1 / 2]
 387     Plot_Nodes(name, list_x)
 388
 389     polynom = lambda x: [x**4, x**3, x**2, x, 1]
 390
 391     Compute_and_Print(polynom, list_x, useFactor=False)
 392
 393     Display.Section(name + " EulerBernoulli")
 394     polynom = lambda x: [
 395         [1, x, x**2, x**3, x**4, x**5, x**6, x**7, x**8, x**9],
 396         [
 397             0,
 398             1,
 399             2 * x,
 400             3 * x**2,
 401             4 * x**3,
 402             5 * x**4,
 403             6 * x**5,
 404             7 * x**6,
 405             8 * x**7,
 406             9 * x**8,
 407         ],
 408     ]
 409     Compute_and_Print(polynom, list_x, useEulerBernoulli=True, useFactor=False)
 410
 411
 412 # ----------------------------------------------
 413 # TRIANGLES
 414 # ----------------------------------------------
 415
 416
 417 def Do_Triangles():
 418     # ----------------------------------------------
 419     # TRI3
 420     # ----------------------------------------------
 421     # v
 422     # ^
 423     # |
 424     # 2
 425     # |`\
 426     # |  `\
 427     # |    `\
 428     # |      `\
 429     # |        `\
 430     # 0----------1 --> u
 431     # ----------------------------------------------
 432
 433     name = "TRI3"
 434     Display.Section(name)
 435
 436     list_x = [0, 1, 0]
 437     list_y = [0, 0, 1]
 438     Plot_Nodes(name, list_x, list_y)
 439
 440     polynom = lambda x, y: [x, y, 1]
 441
 442     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y)
 443
 444     # ----------------------------------------------
 445     # TRI6
 446     # ----------------------------------------------
 447     # v
 448     # ^
 449     # |
 450     # 2
 451     # |`\
 452     # |  `\
 453     # 5    `4
 454     # |      `\
 455     # |        `\
 456     # 0----3-----1 --> u
 457     # ----------------------------------------------
 458
 459     name = "TRI6"
 460     Display.Section(name)
 461
 462     list_x = [0, 1, 0, 0.5, 0.5, 0]
 463     list_y = [0, 0, 1, 0, 0.5, 0.5]
 464     Plot_Nodes(name, list_x, list_y)
 465
 466     polynom = lambda x, y: [x**2, y**2, x * y, x, y, 1]
 467
 468     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y)
 469
 470     # ----------------------------------------------
 471     # TRI10
 472     # ----------------------------------------------
 473     # v
 474     # ^
 475     # |
 476     # 2
 477     # | \
 478     # 7   6
 479     # |     \
 480     # 8  (9)  5
 481     # |         \
 482     # 0---3---4---1 --> u
 483     # ----------------------------------------------
 484
 485     name = "TRI10"
 486     Display.Section(name)
 487
 488     # fmt: off
 489     list_x = [
 490         0,1,0,
 491         1/3,2/3,
 492         2/3, 1/3,
 493         0,0,
 494         1/3
 495     ]
 496     list_y = [
 497         0,0,1,
 498         0,0,
 499         1/3, 2/3,
 500         2/3,1/3,
 501         1/3
 502     ]
 503     # fmt: off
 504     Plot_Nodes(name, list_x, list_y)
 505
 506     polynom = lambda x, y: [x**3, y**3, x**2 * y, x * y**2, x**2, y**2, x * y, x, y, 1]
 507
 508     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, useFactor=False)
 509
 510     # ----------------------------------------------
 511     # TRI15
 512     # ----------------------------------------------
 513     #
 514     # 2
 515     # | \
 516     # 9   8
 517     # |     \
 518     # 10 (14)  7
 519     # |         \
 520     # 11 (12) (13) 6
 521     # |             \
 522     # 0---3---4---5---1
 523     # ----------------------------------------------
 524
 525     name = "TRI15"
 526     Display.Section(name)
 527
 528     # fmt: off
 529     list_x = [
 530         0,1,0,
 531         1/4,1/2,3/4,
 532         3/4,1/2,1/4,
 533         0,0,0,
 534         1/4,1/2,1/4
 535     ]
 536     list_y = [
 537         0,0,1,
 538         0,0,0,
 539         1/4,1/2,3/4,
 540         3/4,1/2,1/4,
 541         1/4,1/4,1/2
 542     ]
 543     # fmt: on
 544     Plot_Nodes(name, list_x, list_y)
 545
 546     polynom = lambda x, y: [
 547         x**4,
 548         x**3 * y,
 549         x**2 * y**2,
 550         x * y**3,
 551         y**4,
 552         x**3,
 553         x**2 * y,
 554         x * y**2,
 555         y**3,
 556         x**2,
 557         x * y,
 558         y**2,
 559         x,
 560         y,
 561         1,
 562     ]
 563
 564     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, useFactor=False)
 565
 566
 567 # ----------------------------------------------
 568 # QUADRANGLES
 569 # ----------------------------------------------
 570
 571
 572 def Do_Quadrangles():
 573     # ----------------------------------------------
 574     # QUAD4
 575     # ----------------------------------------------
 576     #       v
 577     #       ^
 578     #       |
 579     # 3-----------2
 580     # |     |     |
 581     # |     |     |
 582     # |     +---- | --> u
 583     # |           |
 584     # |           |
 585     # 0-----------1
 586     # ----------------------------------------------
 587
 588     name = "QUAD4"
 589     Display.Section(name)
 590
 591     list_x = [-1, 1, 1, -1]
 592     list_y = [-1, -1, 1, 1]
 593     Plot_Nodes(name, list_x, list_y)
 594
 595     polynom = lambda x, y: [x * y, x, y, 1]
 596
 597     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y)
 598
 599     # ----------------------------------------------
 600     # QUAD8
 601     # ----------------------------------------------
 602     #       v
 603     #       ^
 604     #       |
 605     # 3-----6-----2
 606     # |     |     |
 607     # |     |     |
 608     # 7     +---- 5 --> u
 609     # |           |
 610     # |           |
 611     # 0-----4-----1
 612     # ----------------------------------------------
 613
 614     name = "QUAD8"
 615     Display.Section(name)
 616
 617     list_x = [-1, 1, 1, -1, 0, 1, 0, -1]
 618     list_y = [-1, -1, 1, 1, -1, 0, 1, 0]
 619     Plot_Nodes(name, list_x, list_y)
 620
 621     polynom = lambda x, y: [x**2 * y, y**2 * x, x**2, y**2, x * y, x, y, 1]
 622
 623     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, useFactor=True)
 624
 625     # ----------------------------------------------
 626     # QUAD9
 627     # ----------------------------------------------
 628     #       v
 629     #       ^
 630     #       |
 631     # 3-----6-----2
 632     # |     |     |
 633     # |     |     |
 634     # 7     8---- 5 --> u
 635     # |           |
 636     # |           |
 637     # 0-----4-----1
 638     # ----------------------------------------------
 639
 640     name = "QUAD9"
 641     Display.Section(name)
 642
 643     list_x = [-1, 1, 1, -1, 0, 1, 0, -1, 0]
 644     list_y = [-1, -1, 1, 1, -1, 0, 1, 0, 0]
 645     Plot_Nodes(name, list_x, list_y)
 646
 647     polynom = lambda x, y: [x**2 * y**2, x**2 * y, y**2 * x, x**2, y**2, x * y, x, y, 1]
 648
 649     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, useFactor=True)
 650
 651
 652 # ----------------------------------------------
 653 # TETRAHEDRON
 654 # ----------------------------------------------
 655
 656
 657 def Do_Tetrahedron():
 658     # ----------------------------------------------
 659     # TETRA4
 660     # ----------------------------------------------
 661     #                    v
 662     #                  .
 663     #                ,/
 664     #               /
 665     #            2
 666     #          ,/|`\
 667     #        ,/  |  `\
 668     #      ,/    '.   `\
 669     #    ,/       |     `\
 670     #  ,/         |       `\
 671     # 0-----------'.--------1 --> u
 672     #  `\.         |      ,/
 673     #     `\.      |    ,/
 674     #        `\.   '. ,/
 675     #           `\. |/
 676     #              `3
 677     #                 `\.
 678     #                    ` w
 679     # ----------------------------------------------
 680
 681     name = "TETRA4"
 682     Display.Section(name)
 683
 684     list_x = [0, 1, 0, 0]
 685     list_y = [0, 0, 1, 0]
 686     list_z = [0, 0, 0, 1]
 687     Plot_Nodes(name, list_x, list_y, list_z)
 688
 689     polynom = lambda x, y, z: [x, y, z, 1]
 690
 691     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, list_z)
 692
 693     # ----------------------------------------------
 694     # TETRA10
 695     # ----------------------------------------------
 696     #                    v
 697     #                  .
 698     #                ,/
 699     #               /
 700     #            2
 701     #          ,/|`\
 702     #        ,/  |  `\
 703     #      ,6    '.   `5
 704     #    ,/       8     `\
 705     #  ,/         |       `\
 706     # 0--------4--'.--------1 --> u
 707     #  `\.         |      ,/
 708     #     `\.      |    ,9
 709     #        `7.   '. ,/
 710     #           `\. |/
 711     #              `3
 712     #                 `\.
 713     #                    ` w
 714     # ----------------------------------------------
 715
 716     name = "TETRA10"
 717     Display.Section(name)
 718
 719     list_x = [0, 1, 0, 0, 0.5, 0.5, 0, 0, 0, 0.5]
 720     list_y = [0, 0, 1, 0, 0, 0.5, 0.5, 0, 0.5, 0]
 721     list_z = [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0.5, 0.5, 0.5]
 722     Plot_Nodes(name, list_x, list_y, list_z)
 723
 724     polynom = lambda x, y, z: [x**2, y**2, z**2, x * y, x * z, y * z, x, y, z, 1]
 725
 726     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, list_z)
 727
 728
 729 # ----------------------------------------------
 730 # HEXAHEDRON
 731 # ----------------------------------------------
 732
 733
 734 def Do_Hexahedron():
 735     # ----------------------------------------------
 736     # HEXA8
 737     # ----------------------------------------------
 738     #        v
 739     # 3----------2
 740     # |\     ^   |\
 741     # | \    |   | \
 742     # |  \   |   |  \
 743     # |   7------+---6
 744     # |   |  +-- |-- | -> u
 745     # 0---+---\--1   |
 746     #  \  |    \  \  |
 747     #   \ |     \  \ |
 748     #    \|      w  \|
 749     #     4----------5
 750     # ----------------------------------------------
 751
 752     name = "HEXA8"
 753     Display.Section(name)
 754
 755     list_x = [-1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1]
 756     list_y = [-1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1]
 757     list_z = [-1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1]
 758     Plot_Nodes(name, list_x, list_y, list_z)
 759
 760     polynom = lambda x, y, z: [x * y * z, x * y, x * z, y * z, x, y, z, 1]
 761
 762     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, list_z)
 763
 764     # ----------------------------------------------
 765     # HEXA20
 766     # ----------------------------------------------
 767     #        v
 768     # 3----13----2
 769     # |\     ^   |\
 770     # | 15   |   | 14
 771     # 9  \   |   11 \
 772     # |   7----19+---6
 773     # |   |  +-- |-- | -> u
 774     # 0---+-8-\--1   |
 775     #  \  17   \  \  18
 776     #  10 |     \  12|
 777     #    \|      w  \|
 778     #     4----16----5
 779     # ----------------------------------------------
 780
 781     name = "HEXA20"
 782     Display.Section(name)
 783
 784     # fmt: off
 785     list_x = [-1,1,1,-1,
 786             -1,1,1,-1,
 787             0,-1,-1,1,
 788             1,0,1,-1,
 789             0,-1,1,0]
 790     list_y = [-1,-1,1,1,
 791             -1,-1,1,1,
 792             -1,0,-1,0,
 793             -1,1,1,1,
 794             -1,0,0,1]
 795     list_z = [-1,-1,-1,-1,
 796             1,1,1,1,
 797             -1,-1,0,-1,
 798             0,-1,0,0,
 799             1,1,1,1]
 800     # fmt: on
 801     Plot_Nodes(name, list_x, list_y, list_z)
 802
 803     polynom = lambda x, y, z: [
 804         x**2 * y * z,
 805         y**2 * x * z,
 806         z**2 * x * y,
 807         x**2 * y,
 808         y**2 * x,
 809         z**2 * x,
 810         x**2 * z,
 811         y**2 * z,
 812         z**2 * y,
 813         x**2,
 814         y**2,
 815         z**2,
 816         x * y,
 817         x * z,
 818         y * z,
 819         x,
 820         y,
 821         z,
 822         x * y * z,
 823         1,
 824     ]
 825
 826     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, list_z, useSimplify=True, useFactor=True)
 827
 828     # ----------------------------------------------
 829     # HEXA27
 830     # ----------------------------------------------
 831     #
 832     # 3----13----2
 833     # |\         |\
 834     # |15    24  | 14
 835     # 9  \ 20    11 \
 836     # |   7----19+---6
 837     # |22 |  26  | 23|
 838     # 0---+-8----1   |
 839     #  \ 17    25 \  18
 840     #  10 |  21    12|
 841     #    \|         \|
 842     #     4----16----5
 843     # ----------------------------------------------
 844
 845     name = "HEXA27"
 846     Display.Section(name)
 847
 848     # fmt: off
 849     list_x = [
 850         -1,1,1,-1,
 851         -1,1,1,-1,
 852         0,-1,-1,1,
 853         1,0,1,-1,
 854         0,-1,1,0,
 855         0,0,-1,1,
 856         0,0,0
 857     ]
 858     list_y = [
 859         -1,-1,1,1,
 860         -1,-1,1,1,
 861         -1,0,-1,0,
 862         -1,1,1,1,
 863         -1,0,0,1,
 864         0,-1,0,0,
 865         1,0,0
 866     ]
 867     list_z = [
 868         -1,-1,-1,-1,
 869         1,1,1,1,
 870         -1,-1,0,-1,
 871         0,-1,0,0,
 872         1,1,1,1,
 873         -1,0,0,0,
 874         0,1,0
 875     ]
 876     # fmt: on
 877     Plot_Nodes(name, list_x, list_y, list_z)
 878
 879     polynom = lambda x, y, z: [
 880         x**2 * z**2 * y,
 881         x**2 * y**2 * z,
 882         y**2 * z**2 * x,
 883         x**2 * z**2 * y**2,
 884         x**2 * y**2,
 885         x**2 * z**2,
 886         y**2 * z**2,
 887         x**2 * y * z,
 888         y**2 * x * z,
 889         z**2 * x * y,
 890         x**2 * y,
 891         y**2 * x,
 892         z**2 * x,
 893         x**2 * z,
 894         y**2 * z,
 895         z**2 * y,
 896         x**2,
 897         y**2,
 898         z**2,
 899         x * y,
 900         x * z,
 901         y * z,
 902         x,
 903         y,
 904         z,
 905         x * y * z,
 906         1,
 907     ]
 908
 909     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, list_z, useSimplify=True, useFactor=True)
 910
 911
 912 # ----------------------------------------------
 913 # PRISM
 914 # ----------------------------------------------
 915
 916
 917 def Do_Prism():
 918     # ----------------------------------------------
 919     # PRISM6
 920     # ----------------------------------------------
 921     #            w
 922     #            ^
 923     #            |
 924     #            3
 925     #          ,/|`\
 926     #        ,/  |  `\
 927     #      ,/    |    `\
 928     #     4------+------5
 929     #     |      |      |
 930     #     |    ,/|`\    |
 931     #     |  ,/  |  `\  |
 932     #     |,/    |    `\|
 933     #    ,|      |      |\
 934     #  ,/ |      0      | `\
 935     # u   |    ,/ `\    |    v
 936     #     |  ,/     `\  |
 937     #     |,/         `\|
 938     #     1-------------2
 939     # ----------------------------------------------
 940
 941     name = "PRISM6"
 942     Display.Section(name)
 943
 944     list_x = [0, 1, 0, 0, 1, 0]
 945     list_y = [0, 0, 1, 0, 0, 1]
 946     list_z = [-1, -1, -1, 1, 1, 1]
 947     Plot_Nodes(name, list_x, list_y, list_z)
 948
 949     polynom = lambda x, y, z: [x * z, y * z, x, y, z, 1]
 950
 951     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, list_z)
 952
 953     # ----------------------------------------------
 954     # PRISM15
 955     # ----------------------------------------------
 956     #            w
 957     #            ^
 958     #            |
 959     #            3
 960     #          ,/|`\
 961     #        12  |  13
 962     #      ,/    |    `\
 963     #     4------14-----5
 964     #     |      8      |
 965     #     |    ,/|`\    |
 966     #     |  ,/  |  `\  |
 967     #     |,/    |    `\|
 968     #    ,10     |      11
 969     #  ,/ |      0      | \
 970     # u   |    ,/ `\    |   v
 971     #     |  ,6     `7  |
 972     #     |,/         `\|
 973     #     1------9------2
 974     # ----------------------------------------------
 975
 976     name = "PRISM15"
 977     Display.Section(name)
 978
 979     list_x = [0, 1, 0, 0, 1, 0, 0.5, 0, 0, 0.5, 1, 0, 0.5, 0, 0.5]
 980     list_y = [0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0.5, 0, 0.5, 0, 1, 0, 0.5, 0.5]
 981     list_z = [-1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 0, -1, 0, 0, 1, 1, 1]
 982     Plot_Nodes(name, list_x, list_y, list_z)
 983
 984     polynom = lambda x, y, z: [
 985         x**2 * z,
 986         y**2 * z,
 987         z**2 * x,
 988         z**2 * y,
 989         x * y * z,
 990         x**2,
 991         y**2,
 992         z**2,
 993         x * y,
 994         x * z,
 995         y * z,
 996         x,
 997         y,
 998         z,
 999         1,
1000     ]
1001
1002     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, list_z)
1003
1004     # ----------------------------------------------
1005     # PRISM18
1006     # ----------------------------------------------
1007     #            w
1008     #            ^
1009     #            |
1010     #            3
1011     #          ,/|`\
1012     #        12  |  13
1013     #      ,/    |    `\
1014     #     4------14-----5
1015     #     |      8      |
1016     #     |    ,/|`\    |
1017     #     |  15  |  16  |
1018     #     |,/    |    `\|
1019     #    ,10-----17-----11
1020     #  ,/ |      0      | \
1021     # u   |    ,/ `\    |   v
1022     #     |  ,6     `7  |
1023     #     |,/         `\|
1024     #     1------9------2
1025     # ----------------------------------------------
1026
1027     name = "PRISM18"
1028     Display.Section(name)
1029
1030     list_x = [0, 1, 0, 0, 1, 0, 0.5, 0, 0, 0.5, 1, 0, 0.5, 0, 0.5, 0.5, 0, 0.5]
1031     list_y = [0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0.5, 0, 0.5, 0, 1, 0, 0.5, 0.5, 0, 0.5, 0.5]
1032     list_z = [-1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 0, -1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0]
1033     Plot_Nodes(name, list_x, list_y, list_z)
1034
1035     polynom = lambda x, y, z: [
1036         x**2,
1037         y**2,
1038         x * y,
1039         x,
1040         y,
1041         1,
1042         x**2 * z,
1043         y**2 * z,
1044         x * y * z,
1045         x * z,
1046         y * z,
1047         z,
1048         x**2 * z**2,
1049         y**2 * z**2,
1050         x * y * z**2,
1051         x * z**2,
1052         y * z**2,
1053         z**2,
1054     ]
1055
1056     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, list_z)
1057
1058
1059 # ----------------------------------------------
1060 # MAIN
1061 # ----------------------------------------------
1062
1063 if __name__ == "__main__":
1064     Do_Segments()
1065
1066     Do_Triangles()
1067
1068     Do_Quadrangles()
1069
1070     Do_Tetrahedron()
1071
1072     Do_Hexahedron()
1073
1074     Do_Prism()
1075
1076     plt.show()

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