Note

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ShapeFunctions#

Create Lagrange finite element shape functions.

  • SEG2
  • SEG3
  • SEG4
  • SEG5
  • TRI3
  • TRI6
  • TRI10
  • TRI15
  • QUAD4
  • QUAD8
  • QUAD9
  • TETRA4
  • TETRA10
  • HEXA8
  • HEXA20
  • HEXA27
  • PRISM6
  • PRISM15
  • PRISM18
==================== SEG2 ====================
N1 = lambda r : -(r - 1)/2
N2 = lambda r : (r + 1)/2

dN1 = [lambda r : -1/2]
dN2 = [lambda r : 1/2]

ddN1 = [lambda r : 0]
ddN2 = [lambda r : 0]

dddN1 = [lambda r : 0]
dddN2 = [lambda r : 0]

ddddN1 = [lambda r : 0]
ddddN2 = [lambda r : 0]



============= SEG2 EulerBernoulli =============
N1 = lambda r : (r - 1)**2*(r + 2)/4
N2 = lambda r : (r - 1)**2*(r + 1)/8
N3 = lambda r : -(r - 2)*(r + 1)**2/4
N4 = lambda r : (r - 1)*(r + 1)**2/8

dN1 = [lambda r : (r - 1)**2/4 + (r + 2)*(2*r - 2)/4]
dN2 = [lambda r : (r - 1)**2/8 + (r + 1)*(2*r - 2)/8]
dN3 = [lambda r : -(r - 2)*(2*r + 2)/4 - (r + 1)**2/4]
dN4 = [lambda r : (r - 1)*(2*r + 2)/8 + (r + 1)**2/8]

ddN1 = [lambda r : 3*r/2]
ddN2 = [lambda r : 3*r/4 - 1/4]
ddN3 = [lambda r : -3*r/2]
ddN4 = [lambda r : 3*r/4 + 1/4]

dddN1 = [lambda r : 3/2]
dddN2 = [lambda r : 3/4]
dddN3 = [lambda r : -3/2]
dddN4 = [lambda r : 3/4]

ddddN1 = [lambda r : 0]
ddddN2 = [lambda r : 0]
ddddN3 = [lambda r : 0]
ddddN4 = [lambda r : 0]



==================== SEG3 ====================
N1 = lambda r : r*(r - 1)/2
N2 = lambda r : r*(r + 1)/2
N3 = lambda r : -(r - 1)*(r + 1)

dN1 = [lambda r : r - 1/2]
dN2 = [lambda r : r + 1/2]
dN3 = [lambda r : -2*r]

ddN1 = [lambda r : 1]
ddN2 = [lambda r : 1]
ddN3 = [lambda r : -2]

dddN1 = [lambda r : 0]
dddN2 = [lambda r : 0]
dddN3 = [lambda r : 0]

ddddN1 = [lambda r : 0]
ddddN2 = [lambda r : 0]
ddddN3 = [lambda r : 0]



============= SEG3 EulerBernoulli =============
N1 = lambda r : r**2*(r - 1)**2*(3*r + 4)/4
N2 = lambda r : r**2*(r - 1)**2*(r + 1)/8
N3 = lambda r : -r**2*(r + 1)**2*(3*r - 4)/4
N4 = lambda r : r**2*(r - 1)*(r + 1)**2/8
N5 = lambda r : (r - 1)**2*(r + 1)**2
N6 = lambda r : r*(r - 1)**2*(r + 1)**2/2

dN1 = [lambda r : 3*r**2*(r - 1)**2/4 + r**2*(2*r - 2)*(3*r + 4)/4 + r*(r - 1)**2*(3*r + 4)/2]
dN2 = [lambda r : r**2*(r - 1)**2/8 + r**2*(r + 1)*(2*r - 2)/8 + r*(r - 1)**2*(r + 1)/4]
dN3 = [lambda r : -3*r**2*(r + 1)**2/4 - r**2*(2*r + 2)*(3*r - 4)/4 - r*(r + 1)**2*(3*r - 4)/2]
dN4 = [lambda r : r**2*(r - 1)*(2*r + 2)/8 + r**2*(r + 1)**2/8 + r*(r - 1)*(r + 1)**2/4]
dN5 = [lambda r : (r - 1)**2*(2*r + 2) + (r + 1)**2*(2*r - 2)]
dN6 = [lambda r : r*(r - 1)**2*(2*r + 2)/2 + r*(r + 1)**2*(2*r - 2)/2 + (r - 1)**2*(r + 1)**2/2]

ddN1 = [lambda r : 3*r**2*(2*r - 2)/2 + r**2*(3*r + 4)/2 + 3*r*(r - 1)**2 + r*(2*r - 2)*(3*r + 4) + (r - 1)**2*(3*r + 4)/2]
ddN2 = [lambda r : r**2*(r + 1)/4 + r**2*(2*r - 2)/4 + r*(r - 1)**2/2 + r*(r + 1)*(2*r - 2)/2 + (r - 1)**2*(r + 1)/4]
ddN3 = [lambda r : -3*r**2*(2*r + 2)/2 - r**2*(3*r - 4)/2 - 3*r*(r + 1)**2 - r*(2*r + 2)*(3*r - 4) - (r + 1)**2*(3*r - 4)/2]
ddN4 = [lambda r : r**2*(r - 1)/4 + r**2*(2*r + 2)/4 + r*(r - 1)*(2*r + 2)/2 + r*(r + 1)**2/2 + (r - 1)*(r + 1)**2/4]
ddN5 = [lambda r : 2*(r - 1)**2 + 2*(r + 1)**2 + 2*(2*r - 2)*(2*r + 2)]
ddN6 = [lambda r : r*(r - 1)**2 + r*(r + 1)**2 + r*(2*r - 2)*(2*r + 2) + (r - 1)**2*(2*r + 2) + (r + 1)**2*(2*r - 2)]

dddN1 = [lambda r : 9*r**2/2 + 9*r*(2*r - 2) + 3*r*(3*r + 4) + 9*(r - 1)**2/2 + 3*(2*r - 2)*(3*r + 4)/2]
dddN2 = [lambda r : 3*r**2/4 + 3*r*(r + 1)/2 + 3*r*(2*r - 2)/2 + 3*(r - 1)**2/4 + 3*(r + 1)*(2*r - 2)/4]
dddN3 = [lambda r : -9*r**2/2 - 9*r*(2*r + 2) - 3*r*(3*r - 4) - 9*(r + 1)**2/2 - 3*(2*r + 2)*(3*r - 4)/2]
dddN4 = [lambda r : 3*r**2/4 + 3*r*(r - 1)/2 + 3*r*(2*r + 2)/2 + 3*(r - 1)*(2*r + 2)/4 + 3*(r + 1)**2/4]
dddN5 = [lambda r : 24*r]
dddN6 = [lambda r : 3*r*(2*r - 2) + 3*r*(2*r + 2) + 3*(r - 1)**2 + 3*(r + 1)**2 + 3*(2*r - 2)*(2*r + 2)]

ddddN1 = [lambda r : 90*r - 12]
ddddN2 = [lambda r : 15*r - 3]
ddddN3 = [lambda r : -90*r - 12]
ddddN4 = [lambda r : 15*r + 3]
ddddN5 = [lambda r : 24]
ddddN6 = [lambda r : 60*r]



==================== SEG4 ====================
N1 = lambda r : -9*r**3/16 + 9*r**2/16 + r/16 - 1/16
N2 = lambda r : 9*r**3/16 + 9*r**2/16 - r/16 - 1/16
N3 = lambda r : 27*r**3/16 - 9*r**2/16 - 27*r/16 + 9/16
N4 = lambda r : -27*r**3/16 - 9*r**2/16 + 27*r/16 + 9/16

dN1 = [lambda r : -27*r**2/16 + 9*r/8 + 1/16]
dN2 = [lambda r : 27*r**2/16 + 9*r/8 - 1/16]
dN3 = [lambda r : 81*r**2/16 - 9*r/8 - 27/16]
dN4 = [lambda r : -81*r**2/16 - 9*r/8 + 27/16]

ddN1 = [lambda r : 9/8 - 27*r/8]
ddN2 = [lambda r : 27*r/8 + 9/8]
ddN3 = [lambda r : 81*r/8 - 9/8]
ddN4 = [lambda r : -81*r/8 - 9/8]

dddN1 = [lambda r : -27/8]
dddN2 = [lambda r : 27/8]
dddN3 = [lambda r : 81/8]
dddN4 = [lambda r : -81/8]

ddddN1 = [lambda r : 0]
ddddN2 = [lambda r : 0]
ddddN3 = [lambda r : 0]
ddddN4 = [lambda r : 0]



============= SEG4 EulerBernoulli =============
N1 = lambda r : 891*r**7/512 - 729*r**6/512 - 1413*r**5/512 + 1215*r**4/512 + 137207031249999*r**3/250000000000000 - 237304687500001*r**2/500000000000000 - 292968749999991*r/10000000000000000 + 253906250000009/10000000000000000
N2 = lambda r : 81*r**7/512 - 81*r**6/512 - 99*r**5/512 + 99*r**4/512 + 92773437499999*r**3/2500000000000000 - 185546875000001*r**2/5000000000000000 - r/512 + 1/512
N3 = lambda r : -891*r**7/512 - 729*r**6/512 + 275976562499999*r**5/100000000000000 + 1215*r**4/512 - 109765624999999*r**3/200000000000000 - 243*r**2/512 + 292968749999987*r/10000000000000000 + 13/512
N4 = lambda r : 81*r**7/512 + 81*r**6/512 - 99*r**5/512 - 99*r**4/512 + 92773437499999*r**3/2500000000000000 + 371093749999999*r**2/10000000000000000 - r/512 - 1/512
N5 = lambda r : 2187*r**7/512 + 729*r**6/512 - 5589*r**5/512 - 1215*r**4/512 + 450878906249999*r**3/50000000000000 + 94921874999999*r**2/200000000000000 - 1215*r/512 + 474609375000003/1000000000000000
N6 = lambda r : 729*r**7/512 - 243*r**6/512 - 1539*r**5/512 + 513*r**4/512 + 891*r**3/512 - 290039062500001*r**2/500000000000000 - 158203124999999*r/1000000000000000 + 527343750000009/10000000000000000
N7 = lambda r : -2187*r**7/512 + 729*r**6/512 + 5589*r**5/512 - 1215*r**4/512 - 450878906249999*r**3/50000000000000 + 474609375000007*r**2/1000000000000000 + 1215*r/512 + 118652343749999/250000000000000
N8 = lambda r : 729*r**7/512 + 243*r**6/512 - 300585937499999*r**5/100000000000000 - 513*r**4/512 + 174023437499999*r**3/100000000000000 + 290039062499999*r**2/500000000000000 - 79101562499999*r/500000000000000 - 527343749999993/10000000000000000

dN1 = [lambda r : 6237*r**6/512 - 2187*r**5/256 - 7065*r**4/512 + 1215*r**3/128 + 411621093749997*r**2/250000000000000 - 237304687500001*r/250000000000000 - 292968749999991/10000000000000000]
dN2 = [lambda r : 567*r**6/512 - 243*r**5/256 - 495*r**4/512 + 99*r**3/128 + 278320312499997*r**2/2500000000000000 - 185546875000001*r/2500000000000000 - 1/512]
dN3 = [lambda r : -6237*r**6/512 - 2187*r**5/256 + 275976562499999*r**4/20000000000000 + 1215*r**3/128 - 329296874999997*r**2/200000000000000 - 243*r/256 + 292968749999987/10000000000000000]
dN4 = [lambda r : 567*r**6/512 + 243*r**5/256 - 495*r**4/512 - 99*r**3/128 + 278320312499997*r**2/2500000000000000 + 371093749999999*r/5000000000000000 - 1/512]
dN5 = [lambda r : 15309*r**6/512 + 2187*r**5/256 - 27945*r**4/512 - 1215*r**3/128 + 1352636718749997*r**2/50000000000000 + 94921874999999*r/100000000000000 - 1215/512]
dN6 = [lambda r : 5103*r**6/512 - 729*r**5/256 - 7695*r**4/512 + 513*r**3/128 + 2673*r**2/512 - 290039062500001*r/250000000000000 - 158203124999999/1000000000000000]
dN7 = [lambda r : -15309*r**6/512 + 2187*r**5/256 + 27945*r**4/512 - 1215*r**3/128 - 1352636718749997*r**2/50000000000000 + 474609375000007*r/500000000000000 + 1215/512]
dN8 = [lambda r : 5103*r**6/512 + 729*r**5/256 - 300585937499999*r**4/20000000000000 - 513*r**3/128 + 522070312499997*r**2/100000000000000 + 290039062499999*r/250000000000000 - 79101562499999/500000000000000]

ddN1 = [lambda r : 18711*r**5/256 - 10935*r**4/256 - 7065*r**3/128 + 3645*r**2/128 + 411621093749997*r/125000000000000 - 237304687500001/250000000000000]
ddN2 = [lambda r : 1701*r**5/256 - 1215*r**4/256 - 495*r**3/128 + 297*r**2/128 + 278320312499997*r/1250000000000000 - 185546875000001/2500000000000000]
ddN3 = [lambda r : -18711*r**5/256 - 10935*r**4/256 + 275976562499999*r**3/5000000000000 + 3645*r**2/128 - 329296874999997*r/100000000000000 - 243/256]
ddN4 = [lambda r : 1701*r**5/256 + 1215*r**4/256 - 495*r**3/128 - 297*r**2/128 + 278320312499997*r/1250000000000000 + 371093749999999/5000000000000000]
ddN5 = [lambda r : 45927*r**5/256 + 10935*r**4/256 - 27945*r**3/128 - 3645*r**2/128 + 1352636718749997*r/25000000000000 + 94921874999999/100000000000000]
ddN6 = [lambda r : 15309*r**5/256 - 3645*r**4/256 - 7695*r**3/128 + 1539*r**2/128 + 2673*r/256 - 290039062500001/250000000000000]
ddN7 = [lambda r : -45927*r**5/256 + 10935*r**4/256 + 27945*r**3/128 - 3645*r**2/128 - 1352636718749997*r/25000000000000 + 474609375000007/500000000000000]
ddN8 = [lambda r : 15309*r**5/256 + 3645*r**4/256 - 300585937499999*r**3/5000000000000 - 1539*r**2/128 + 522070312499997*r/50000000000000 + 290039062499999/250000000000000]

dddN1 = [lambda r : 93555*r**4/256 - 10935*r**3/64 - 21195*r**2/128 + 3645*r/64 + 411621093749997/125000000000000]
dddN2 = [lambda r : 8505*r**4/256 - 1215*r**3/64 - 1485*r**2/128 + 297*r/64 + 278320312499997/1250000000000000]
dddN3 = [lambda r : -93555*r**4/256 - 10935*r**3/64 + 827929687499997*r**2/5000000000000 + 3645*r/64 - 329296874999997/100000000000000]
dddN4 = [lambda r : 8505*r**4/256 + 1215*r**3/64 - 1485*r**2/128 - 297*r/64 + 278320312499997/1250000000000000]
dddN5 = [lambda r : 229635*r**4/256 + 10935*r**3/64 - 83835*r**2/128 - 3645*r/64 + 1352636718749997/25000000000000]
dddN6 = [lambda r : 76545*r**4/256 - 3645*r**3/64 - 23085*r**2/128 + 1539*r/64 + 2673/256]
dddN7 = [lambda r : -229635*r**4/256 + 10935*r**3/64 + 83835*r**2/128 - 3645*r/64 - 1352636718749997/25000000000000]
dddN8 = [lambda r : 76545*r**4/256 + 3645*r**3/64 - 901757812499997*r**2/5000000000000 - 1539*r/64 + 522070312499997/50000000000000]

ddddN1 = [lambda r : 93555*r**3/64 - 32805*r**2/64 - 21195*r/64 + 3645/64]
ddddN2 = [lambda r : 8505*r**3/64 - 3645*r**2/64 - 1485*r/64 + 297/64]
ddddN3 = [lambda r : -93555*r**3/64 - 32805*r**2/64 + 827929687499997*r/2500000000000 + 3645/64]
ddddN4 = [lambda r : 8505*r**3/64 + 3645*r**2/64 - 1485*r/64 - 297/64]
ddddN5 = [lambda r : 229635*r**3/64 + 32805*r**2/64 - 83835*r/64 - 3645/64]
ddddN6 = [lambda r : 76545*r**3/64 - 10935*r**2/64 - 23085*r/64 + 1539/64]
ddddN7 = [lambda r : -229635*r**3/64 + 32805*r**2/64 + 83835*r/64 - 3645/64]
ddddN8 = [lambda r : 76545*r**3/64 + 10935*r**2/64 - 901757812499997*r/2500000000000 - 1539/64]



==================== SEG5 ====================
N1 = lambda r : 2*r**4/3 - 2*r**3/3 - r**2/6 + r/6
N2 = lambda r : 2*r**4/3 + 2*r**3/3 - r**2/6 - r/6
N3 = lambda r : -8*r**4/3 + 4*r**3/3 + 8*r**2/3 - 4*r/3
N4 = lambda r : 4*r**4 - 5*r**2 + 1
N5 = lambda r : -8*r**4/3 - 4*r**3/3 + 8*r**2/3 + 4*r/3

dN1 = [lambda r : 8*r**3/3 - 2*r**2 - r/3 + 1/6]
dN2 = [lambda r : 8*r**3/3 + 2*r**2 - r/3 - 1/6]
dN3 = [lambda r : -32*r**3/3 + 4*r**2 + 16*r/3 - 4/3]
dN4 = [lambda r : 16*r**3 - 10*r]
dN5 = [lambda r : -32*r**3/3 - 4*r**2 + 16*r/3 + 4/3]

ddN1 = [lambda r : 8*r**2 - 4*r - 1/3]
ddN2 = [lambda r : 8*r**2 + 4*r - 1/3]
ddN3 = [lambda r : -32*r**2 + 8*r + 16/3]
ddN4 = [lambda r : 48*r**2 - 10]
ddN5 = [lambda r : -32*r**2 - 8*r + 16/3]

dddN1 = [lambda r : 16*r - 4]
dddN2 = [lambda r : 16*r + 4]
dddN3 = [lambda r : 8 - 64*r]
dddN4 = [lambda r : 96*r]
dddN5 = [lambda r : -64*r - 8]

ddddN1 = [lambda r : 16]
ddddN2 = [lambda r : 16]
ddddN3 = [lambda r : -64]
ddddN4 = [lambda r : 96]
ddddN5 = [lambda r : -64]



============= SEG5 EulerBernoulli =============
N1 = lambda r : 100*r**9/27 - 162962962962963*r**8/50000000000000 - 58*r**7/9 + 52*r**6/9 + 91*r**5/36 - 41*r**4/18 - 31*r**3/108 + 7*r**2/27
N2 = lambda r : 2*r**9/9 - 2*r**8/9 - r**7/3 + r**6/3 + r**5/8 - r**4/8 - r**3/72 + r**2/72
N3 = lambda r : -100*r**9/27 - 162962962962963*r**8/50000000000000 + 58*r**7/9 + 52*r**6/9 - 91*r**5/36 - 41*r**4/18 + 31*r**3/108 + 7*r**2/27
N4 = lambda r : 2*r**9/9 + 2*r**8/9 - r**7/3 - r**6/3 + r**5/8 + r**4/8 - r**3/72 - r**2/72
N5 = lambda r : 640*r**9/27 - 128*r**8/27 - 544*r**7/9 + 128*r**6/9 + 448*r**5/9 - 128*r**4/9 - 352*r**3/27 + 128*r**2/27
N6 = lambda r : 32*r**9/9 - 16*r**8/9 - 8*r**7 + 4*r**6 + 16*r**5/3 - 8*r**4/3 - 8*r**3/9 + 4*r**2/9
N7 = lambda r : 16*r**8 - 40*r**6 + 33*r**4 - 10*r**2 + 1
N8 = lambda r : 8*r**9 - 20*r**7 + 33*r**5/2 - 5*r**3 + r/2
N9 = lambda r : -640*r**9/27 - 128*r**8/27 + 544*r**7/9 + 128*r**6/9 - 448*r**5/9 - 128*r**4/9 + 352*r**3/27 + 128*r**2/27
N10 = lambda r : 32*r**9/9 + 16*r**8/9 - 8*r**7 - 4*r**6 + 16*r**5/3 + 8*r**4/3 - 8*r**3/9 - 4*r**2/9

dN1 = [lambda r : 100*r**8/3 - 162962962962963*r**7/6250000000000 - 406*r**6/9 + 104*r**5/3 + 455*r**4/36 - 82*r**3/9 - 31*r**2/36 + 14*r/27]
dN2 = [lambda r : 2*r**8 - 16*r**7/9 - 7*r**6/3 + 2*r**5 + 5*r**4/8 - r**3/2 - r**2/24 + r/36]
dN3 = [lambda r : -100*r**8/3 - 162962962962963*r**7/6250000000000 + 406*r**6/9 + 104*r**5/3 - 455*r**4/36 - 82*r**3/9 + 31*r**2/36 + 14*r/27]
dN4 = [lambda r : 2*r**8 + 16*r**7/9 - 7*r**6/3 - 2*r**5 + 5*r**4/8 + r**3/2 - r**2/24 - r/36]
dN5 = [lambda r : 640*r**8/3 - 1024*r**7/27 - 3808*r**6/9 + 256*r**5/3 + 2240*r**4/9 - 512*r**3/9 - 352*r**2/9 + 256*r/27]
dN6 = [lambda r : 32*r**8 - 128*r**7/9 - 56*r**6 + 24*r**5 + 80*r**4/3 - 32*r**3/3 - 8*r**2/3 + 8*r/9]
dN7 = [lambda r : 128*r**7 - 240*r**5 + 132*r**3 - 20*r]
dN8 = [lambda r : 72*r**8 - 140*r**6 + 165*r**4/2 - 15*r**2 + 1/2]
dN9 = [lambda r : -640*r**8/3 - 1024*r**7/27 + 3808*r**6/9 + 256*r**5/3 - 2240*r**4/9 - 512*r**3/9 + 352*r**2/9 + 256*r/27]
dN10 = [lambda r : 32*r**8 + 128*r**7/9 - 56*r**6 - 24*r**5 + 80*r**4/3 + 32*r**3/3 - 8*r**2/3 - 8*r/9]

ddN1 = [lambda r : 800*r**7/3 - 1140740740740741*r**6/6250000000000 - 812*r**5/3 + 520*r**4/3 + 455*r**3/9 - 82*r**2/3 - 31*r/18 + 14/27]
ddN2 = [lambda r : 16*r**7 - 112*r**6/9 - 14*r**5 + 10*r**4 + 5*r**3/2 - 3*r**2/2 - r/12 + 1/36]
ddN3 = [lambda r : -800*r**7/3 - 1140740740740741*r**6/6250000000000 + 812*r**5/3 + 520*r**4/3 - 455*r**3/9 - 82*r**2/3 + 31*r/18 + 14/27]
ddN4 = [lambda r : 16*r**7 + 112*r**6/9 - 14*r**5 - 10*r**4 + 5*r**3/2 + 3*r**2/2 - r/12 - 1/36]
ddN5 = [lambda r : 5120*r**7/3 - 7168*r**6/27 - 7616*r**5/3 + 1280*r**4/3 + 8960*r**3/9 - 512*r**2/3 - 704*r/9 + 256/27]
ddN6 = [lambda r : 256*r**7 - 896*r**6/9 - 336*r**5 + 120*r**4 + 320*r**3/3 - 32*r**2 - 16*r/3 + 8/9]
ddN7 = [lambda r : 896*r**6 - 1200*r**4 + 396*r**2 - 20]
ddN8 = [lambda r : 576*r**7 - 840*r**5 + 330*r**3 - 30*r]
ddN9 = [lambda r : -5120*r**7/3 - 7168*r**6/27 + 7616*r**5/3 + 1280*r**4/3 - 8960*r**3/9 - 512*r**2/3 + 704*r/9 + 256/27]
ddN10 = [lambda r : 256*r**7 + 896*r**6/9 - 336*r**5 - 120*r**4 + 320*r**3/3 + 32*r**2 - 16*r/3 - 8/9]

dddN1 = [lambda r : 5600*r**6/3 - 3422222222222223*r**5/3125000000000 - 4060*r**4/3 + 2080*r**3/3 + 455*r**2/3 - 164*r/3 - 31/18]
dddN2 = [lambda r : 112*r**6 - 224*r**5/3 - 70*r**4 + 40*r**3 + 15*r**2/2 - 3*r - 1/12]
dddN3 = [lambda r : -5600*r**6/3 - 3422222222222223*r**5/3125000000000 + 4060*r**4/3 + 2080*r**3/3 - 455*r**2/3 - 164*r/3 + 31/18]
dddN4 = [lambda r : 112*r**6 + 224*r**5/3 - 70*r**4 - 40*r**3 + 15*r**2/2 + 3*r - 1/12]
dddN5 = [lambda r : 35840*r**6/3 - 14336*r**5/9 - 38080*r**4/3 + 5120*r**3/3 + 8960*r**2/3 - 1024*r/3 - 704/9]
dddN6 = [lambda r : 1792*r**6 - 1792*r**5/3 - 1680*r**4 + 480*r**3 + 320*r**2 - 64*r - 16/3]
dddN7 = [lambda r : 5376*r**5 - 4800*r**3 + 792*r]
dddN8 = [lambda r : 4032*r**6 - 4200*r**4 + 990*r**2 - 30]
dddN9 = [lambda r : -35840*r**6/3 - 14336*r**5/9 + 38080*r**4/3 + 5120*r**3/3 - 8960*r**2/3 - 1024*r/3 + 704/9]
dddN10 = [lambda r : 1792*r**6 + 1792*r**5/3 - 1680*r**4 - 480*r**3 + 320*r**2 + 64*r - 16/3]

ddddN1 = [lambda r : 11200*r**5 - 3422222222222223*r**4/625000000000 - 16240*r**3/3 + 2080*r**2 + 910*r/3 - 164/3]
ddddN2 = [lambda r : 672*r**5 - 1120*r**4/3 - 280*r**3 + 120*r**2 + 15*r - 3]
ddddN3 = [lambda r : -11200*r**5 - 3422222222222223*r**4/625000000000 + 16240*r**3/3 + 2080*r**2 - 910*r/3 - 164/3]
ddddN4 = [lambda r : 672*r**5 + 1120*r**4/3 - 280*r**3 - 120*r**2 + 15*r + 3]
ddddN5 = [lambda r : 71680*r**5 - 71680*r**4/9 - 152320*r**3/3 + 5120*r**2 + 17920*r/3 - 1024/3]
ddddN6 = [lambda r : 10752*r**5 - 8960*r**4/3 - 6720*r**3 + 1440*r**2 + 640*r - 64]
ddddN7 = [lambda r : 26880*r**4 - 14400*r**2 + 792]
ddddN8 = [lambda r : 24192*r**5 - 16800*r**3 + 1980*r]
ddddN9 = [lambda r : -71680*r**5 - 71680*r**4/9 + 152320*r**3/3 + 5120*r**2 - 17920*r/3 - 1024/3]
ddddN10 = [lambda r : 10752*r**5 + 8960*r**4/3 - 6720*r**3 - 1440*r**2 + 640*r + 64]



==================== TRI3 ====================
N1 = lambda r, s : -r - s + 1
N2 = lambda r, s : r
N3 = lambda r, s : s

dN1 = [lambda r, s : -1, lambda r, s : -1]
dN2 = [lambda r, s : 1, lambda r, s : 0]
dN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 1]

ddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]

dddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]

ddddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]



==================== TRI6 ====================
N1 = lambda r, s : (r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)
N2 = lambda r, s : r*(2*r - 1)
N3 = lambda r, s : s*(2*s - 1)
N4 = lambda r, s : -4*r*(r + s - 1)
N5 = lambda r, s : 4*r*s
N6 = lambda r, s : -4*s*(r + s - 1)

dN1 = [lambda r, s : 4*r + 4*s - 3, lambda r, s : 4*r + 4*s - 3]
dN2 = [lambda r, s : 4*r - 1, lambda r, s : 0]
dN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 4*s - 1]
dN4 = [lambda r, s : -8*r - 4*s + 4, lambda r, s : -4*r]
dN5 = [lambda r, s : 4*s, lambda r, s : 4*r]
dN6 = [lambda r, s : -4*s, lambda r, s : -4*r - 8*s + 4]

ddN1 = [lambda r, s : 4, lambda r, s : 4]
ddN2 = [lambda r, s : 4, lambda r, s : 0]
ddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 4]
ddN4 = [lambda r, s : -8, lambda r, s : 0]
ddN5 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : -8]

dddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN5 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]

ddddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN5 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]



==================== TRI10 ====================
N1 = lambda r, s : -9*r**3/2 - 27*r**2*s/2 + 9*r**2 - 27*r*s**2/2 + 18*r*s - 11*r/2 - 9*s**3/2 + 9*s**2 - 11*s/2 + 1
N2 = lambda r, s : 9*r**3/2 - 9*r**2/2 + r
N3 = lambda r, s : 9*s**3/2 - 9*s**2/2 + s
N4 = lambda r, s : 27*r**3/2 + 27*r**2*s - 45*r**2/2 + 27*r*s**2/2 - 45*r*s/2 + 9*r
N5 = lambda r, s : -27*r**3/2 - 27*r**2*s/2 + 18*r**2 + 9*r*s/2 - 9*r/2
N6 = lambda r, s : 27*r**2*s/2 - 9*r*s/2
N7 = lambda r, s : 27*r*s**2/2 - 9*r*s/2
N8 = lambda r, s : -27*r*s**2/2 + 9*r*s/2 - 27*s**3/2 + 18*s**2 - 9*s/2
N9 = lambda r, s : 27*r**2*s/2 + 27*r*s**2 - 45*r*s/2 + 27*s**3/2 - 45*s**2/2 + 9*s
N10 = lambda r, s : -27*r**2*s - 27*r*s**2 + 27*r*s

dN1 = [lambda r, s : -27*r**2/2 - 27*r*s + 18*r - 27*s**2/2 + 18*s - 11/2, lambda r, s : -27*r**2/2 - 27*r*s + 18*r - 27*s**2/2 + 18*s - 11/2]
dN2 = [lambda r, s : 27*r**2/2 - 9*r + 1, lambda r, s : 0]
dN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 27*s**2/2 - 9*s + 1]
dN4 = [lambda r, s : 81*r**2/2 + 54*r*s - 45*r + 27*s**2/2 - 45*s/2 + 9, lambda r, s : 27*r**2 + 27*r*s - 45*r/2]
dN5 = [lambda r, s : -81*r**2/2 - 27*r*s + 36*r + 9*s/2 - 9/2, lambda r, s : -27*r**2/2 + 9*r/2]
dN6 = [lambda r, s : 27*r*s - 9*s/2, lambda r, s : 27*r**2/2 - 9*r/2]
dN7 = [lambda r, s : 27*s**2/2 - 9*s/2, lambda r, s : 27*r*s - 9*r/2]
dN8 = [lambda r, s : -27*s**2/2 + 9*s/2, lambda r, s : -27*r*s + 9*r/2 - 81*s**2/2 + 36*s - 9/2]
dN9 = [lambda r, s : 27*r*s + 27*s**2 - 45*s/2, lambda r, s : 27*r**2/2 + 54*r*s - 45*r/2 + 81*s**2/2 - 45*s + 9]
dN10 = [lambda r, s : -54*r*s - 27*s**2 + 27*s, lambda r, s : -27*r**2 - 54*r*s + 27*r]

ddN1 = [lambda r, s : -27*r - 27*s + 18, lambda r, s : -27*r - 27*s + 18]
ddN2 = [lambda r, s : 27*r - 9, lambda r, s : 0]
ddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 27*s - 9]
ddN4 = [lambda r, s : 81*r + 54*s - 45, lambda r, s : 27*r]
ddN5 = [lambda r, s : -81*r - 27*s + 36, lambda r, s : 0]
ddN6 = [lambda r, s : 27*s, lambda r, s : 0]
ddN7 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 27*r]
ddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : -27*r - 81*s + 36]
ddN9 = [lambda r, s : 27*s, lambda r, s : 54*r + 81*s - 45]
ddN10 = [lambda r, s : -54*s, lambda r, s : -54*r]

dddN1 = [lambda r, s : -27, lambda r, s : -27]
dddN2 = [lambda r, s : 27, lambda r, s : 0]
dddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 27]
dddN4 = [lambda r, s : 81, lambda r, s : 0]
dddN5 = [lambda r, s : -81, lambda r, s : 0]
dddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN7 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : -81]
dddN9 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 81]
dddN10 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]

ddddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN5 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN7 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN9 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN10 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]



==================== TRI15 ====================
N1 = lambda r, s : 32*r**4/3 + 128*r**3*s/3 - 80*r**3/3 + 64*r**2*s**2 - 80*r**2*s + 70*r**2/3 + 128*r*s**3/3 - 80*r*s**2 + 140*r*s/3 - 25*r/3 + 32*s**4/3 - 80*s**3/3 + 70*s**2/3 - 25*s/3 + 1
N2 = lambda r, s : 32*r**4/3 - 16*r**3 + 22*r**2/3 - r
N3 = lambda r, s : 32*s**4/3 - 16*s**3 + 22*s**2/3 - s
N4 = lambda r, s : -128*r**4/3 - 128*r**3*s + 96*r**3 - 128*r**2*s**2 + 192*r**2*s - 208*r**2/3 - 128*r*s**3/3 + 96*r*s**2 - 208*r*s/3 + 16*r
N5 = lambda r, s : 64*r**4 + 128*r**3*s - 128*r**3 + 64*r**2*s**2 - 144*r**2*s + 76*r**2 - 16*r*s**2 + 28*r*s - 12*r
N6 = lambda r, s : -128*r**4/3 - 128*r**3*s/3 + 224*r**3/3 + 32*r**2*s - 112*r**2/3 - 16*r*s/3 + 16*r/3
N7 = lambda r, s : 128*r**3*s/3 - 32*r**2*s + 16*r*s/3
N8 = lambda r, s : 64*r**2*s**2 - 16*r**2*s - 16*r*s**2 + 4*r*s
N9 = lambda r, s : 128*r*s**3/3 - 32*r*s**2 + 16*r*s/3
N10 = lambda r, s : -128*r*s**3/3 + 32*r*s**2 - 16*r*s/3 - 128*s**4/3 + 224*s**3/3 - 112*s**2/3 + 16*s/3
N11 = lambda r, s : 64*r**2*s**2 - 16*r**2*s + 128*r*s**3 - 144*r*s**2 + 28*r*s + 64*s**4 - 128*s**3 + 76*s**2 - 12*s
N12 = lambda r, s : -128*r**3*s/3 - 128*r**2*s**2 + 96*r**2*s - 128*r*s**3 + 192*r*s**2 - 208*r*s/3 - 128*s**4/3 + 96*s**3 - 208*s**2/3 + 16*s
N13 = lambda r, s : 128*r**3*s + 256*r**2*s**2 - 224*r**2*s + 128*r*s**3 - 224*r*s**2 + 96*r*s
N14 = lambda r, s : -128*r**3*s - 128*r**2*s**2 + 160*r**2*s + 32*r*s**2 - 32*r*s
N15 = lambda r, s : -128*r**2*s**2 + 32*r**2*s - 128*r*s**3 + 160*r*s**2 - 32*r*s

dN1 = [lambda r, s : 128*r**3/3 + 128*r**2*s - 80*r**2 + 128*r*s**2 - 160*r*s + 140*r/3 + 128*s**3/3 - 80*s**2 + 140*s/3 - 25/3, lambda r, s : 128*r**3/3 + 128*r**2*s - 80*r**2 + 128*r*s**2 - 160*r*s + 140*r/3 + 128*s**3/3 - 80*s**2 + 140*s/3 - 25/3]
dN2 = [lambda r, s : 128*r**3/3 - 48*r**2 + 44*r/3 - 1, lambda r, s : 0]
dN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 128*s**3/3 - 48*s**2 + 44*s/3 - 1]
dN4 = [lambda r, s : -512*r**3/3 - 384*r**2*s + 288*r**2 - 256*r*s**2 + 384*r*s - 416*r/3 - 128*s**3/3 + 96*s**2 - 208*s/3 + 16, lambda r, s : -128*r**3 - 256*r**2*s + 192*r**2 - 128*r*s**2 + 192*r*s - 208*r/3]
dN5 = [lambda r, s : 256*r**3 + 384*r**2*s - 384*r**2 + 128*r*s**2 - 288*r*s + 152*r - 16*s**2 + 28*s - 12, lambda r, s : 128*r**3 + 128*r**2*s - 144*r**2 - 32*r*s + 28*r]
dN6 = [lambda r, s : -512*r**3/3 - 128*r**2*s + 224*r**2 + 64*r*s - 224*r/3 - 16*s/3 + 16/3, lambda r, s : -128*r**3/3 + 32*r**2 - 16*r/3]
dN7 = [lambda r, s : 128*r**2*s - 64*r*s + 16*s/3, lambda r, s : 128*r**3/3 - 32*r**2 + 16*r/3]
dN8 = [lambda r, s : 128*r*s**2 - 32*r*s - 16*s**2 + 4*s, lambda r, s : 128*r**2*s - 16*r**2 - 32*r*s + 4*r]
dN9 = [lambda r, s : 128*s**3/3 - 32*s**2 + 16*s/3, lambda r, s : 128*r*s**2 - 64*r*s + 16*r/3]
dN10 = [lambda r, s : -128*s**3/3 + 32*s**2 - 16*s/3, lambda r, s : -128*r*s**2 + 64*r*s - 16*r/3 - 512*s**3/3 + 224*s**2 - 224*s/3 + 16/3]
dN11 = [lambda r, s : 128*r*s**2 - 32*r*s + 128*s**3 - 144*s**2 + 28*s, lambda r, s : 128*r**2*s - 16*r**2 + 384*r*s**2 - 288*r*s + 28*r + 256*s**3 - 384*s**2 + 152*s - 12]
dN12 = [lambda r, s : -128*r**2*s - 256*r*s**2 + 192*r*s - 128*s**3 + 192*s**2 - 208*s/3, lambda r, s : -128*r**3/3 - 256*r**2*s + 96*r**2 - 384*r*s**2 + 384*r*s - 208*r/3 - 512*s**3/3 + 288*s**2 - 416*s/3 + 16]
dN13 = [lambda r, s : 384*r**2*s + 512*r*s**2 - 448*r*s + 128*s**3 - 224*s**2 + 96*s, lambda r, s : 128*r**3 + 512*r**2*s - 224*r**2 + 384*r*s**2 - 448*r*s + 96*r]
dN14 = [lambda r, s : -384*r**2*s - 256*r*s**2 + 320*r*s + 32*s**2 - 32*s, lambda r, s : -128*r**3 - 256*r**2*s + 160*r**2 + 64*r*s - 32*r]
dN15 = [lambda r, s : -256*r*s**2 + 64*r*s - 128*s**3 + 160*s**2 - 32*s, lambda r, s : -256*r**2*s + 32*r**2 - 384*r*s**2 + 320*r*s - 32*r]

ddN1 = [lambda r, s : 128*r**2 + 256*r*s - 160*r + 128*s**2 - 160*s + 140/3, lambda r, s : 128*r**2 + 256*r*s - 160*r + 128*s**2 - 160*s + 140/3]
ddN2 = [lambda r, s : 128*r**2 - 96*r + 44/3, lambda r, s : 0]
ddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 128*s**2 - 96*s + 44/3]
ddN4 = [lambda r, s : -512*r**2 - 768*r*s + 576*r - 256*s**2 + 384*s - 416/3, lambda r, s : -256*r**2 - 256*r*s + 192*r]
ddN5 = [lambda r, s : 768*r**2 + 768*r*s - 768*r + 128*s**2 - 288*s + 152, lambda r, s : 128*r**2 - 32*r]
ddN6 = [lambda r, s : -512*r**2 - 256*r*s + 448*r + 64*s - 224/3, lambda r, s : 0]
ddN7 = [lambda r, s : 256*r*s - 64*s, lambda r, s : 0]
ddN8 = [lambda r, s : 128*s**2 - 32*s, lambda r, s : 128*r**2 - 32*r]
ddN9 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 256*r*s - 64*r]
ddN10 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : -256*r*s + 64*r - 512*s**2 + 448*s - 224/3]
ddN11 = [lambda r, s : 128*s**2 - 32*s, lambda r, s : 128*r**2 + 768*r*s - 288*r + 768*s**2 - 768*s + 152]
ddN12 = [lambda r, s : -256*r*s - 256*s**2 + 192*s, lambda r, s : -256*r**2 - 768*r*s + 384*r - 512*s**2 + 576*s - 416/3]
ddN13 = [lambda r, s : 768*r*s + 512*s**2 - 448*s, lambda r, s : 512*r**2 + 768*r*s - 448*r]
ddN14 = [lambda r, s : -768*r*s - 256*s**2 + 320*s, lambda r, s : -256*r**2 + 64*r]
ddN15 = [lambda r, s : -256*s**2 + 64*s, lambda r, s : -256*r**2 - 768*r*s + 320*r]

dddN1 = [lambda r, s : 256*r + 256*s - 160, lambda r, s : 256*r + 256*s - 160]
dddN2 = [lambda r, s : 256*r - 96, lambda r, s : 0]
dddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 256*s - 96]
dddN4 = [lambda r, s : -1024*r - 768*s + 576, lambda r, s : -256*r]
dddN5 = [lambda r, s : 1536*r + 768*s - 768, lambda r, s : 0]
dddN6 = [lambda r, s : -1024*r - 256*s + 448, lambda r, s : 0]
dddN7 = [lambda r, s : 256*s, lambda r, s : 0]
dddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN9 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 256*r]
dddN10 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : -256*r - 1024*s + 448]
dddN11 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 768*r + 1536*s - 768]
dddN12 = [lambda r, s : -256*s, lambda r, s : -768*r - 1024*s + 576]
dddN13 = [lambda r, s : 768*s, lambda r, s : 768*r]
dddN14 = [lambda r, s : -768*s, lambda r, s : 0]
dddN15 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : -768*r]

ddddN1 = [lambda r, s : 256, lambda r, s : 256]
ddddN2 = [lambda r, s : 256, lambda r, s : 0]
ddddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 256]
ddddN4 = [lambda r, s : -1024, lambda r, s : 0]
ddddN5 = [lambda r, s : 1536, lambda r, s : 0]
ddddN6 = [lambda r, s : -1024, lambda r, s : 0]
ddddN7 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN9 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN10 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : -1024]
ddddN11 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 1536]
ddddN12 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : -1024]
ddddN13 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN14 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN15 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]



==================== QUAD4 ====================
N1 = lambda r, s : (r - 1)*(s - 1)/4
N2 = lambda r, s : -(r + 1)*(s - 1)/4
N3 = lambda r, s : (r + 1)*(s + 1)/4
N4 = lambda r, s : -(r - 1)*(s + 1)/4

dN1 = [lambda r, s : s/4 - 1/4, lambda r, s : r/4 - 1/4]
dN2 = [lambda r, s : 1/4 - s/4, lambda r, s : -r/4 - 1/4]
dN3 = [lambda r, s : s/4 + 1/4, lambda r, s : r/4 + 1/4]
dN4 = [lambda r, s : -s/4 - 1/4, lambda r, s : 1/4 - r/4]

ddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]

dddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]

ddddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]



==================== QUAD8 ====================
N1 = lambda r, s : -(r - 1)*(s - 1)*(r + s + 1)/4
N2 = lambda r, s : -(r + 1)*(s - 1)*(r - s - 1)/4
N3 = lambda r, s : (r + 1)*(s + 1)*(r + s - 1)/4
N4 = lambda r, s : (r - 1)*(s + 1)*(r - s + 1)/4
N5 = lambda r, s : (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)/2
N6 = lambda r, s : -(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/2
N7 = lambda r, s : -(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)/2
N8 = lambda r, s : (r - 1)*(s - 1)*(s + 1)/2

dN1 = [lambda r, s : -(r - 1)*(s - 1)/4 - (s - 1)*(r + s + 1)/4, lambda r, s : -(r - 1)*(s - 1)/4 - (r - 1)*(r + s + 1)/4]
dN2 = [lambda r, s : -(r + 1)*(s - 1)/4 - (s - 1)*(r - s - 1)/4, lambda r, s : (r + 1)*(s - 1)/4 - (r + 1)*(r - s - 1)/4]
dN3 = [lambda r, s : (r + 1)*(s + 1)/4 + (s + 1)*(r + s - 1)/4, lambda r, s : (r + 1)*(s + 1)/4 + (r + 1)*(r + s - 1)/4]
dN4 = [lambda r, s : (r - 1)*(s + 1)/4 + (s + 1)*(r - s + 1)/4, lambda r, s : -(r - 1)*(s + 1)/4 + (r - 1)*(r - s + 1)/4]
dN5 = [lambda r, s : (r - 1)*(s - 1)/2 + (r + 1)*(s - 1)/2, lambda r, s : (r - 1)*(r + 1)/2]
dN6 = [lambda r, s : -(s - 1)*(s + 1)/2, lambda r, s : -(r + 1)*(s - 1)/2 - (r + 1)*(s + 1)/2]
dN7 = [lambda r, s : -(r - 1)*(s + 1)/2 - (r + 1)*(s + 1)/2, lambda r, s : -(r - 1)*(r + 1)/2]
dN8 = [lambda r, s : (s - 1)*(s + 1)/2, lambda r, s : (r - 1)*(s - 1)/2 + (r - 1)*(s + 1)/2]

ddN1 = [lambda r, s : 1/2 - s/2, lambda r, s : 1/2 - r/2]
ddN2 = [lambda r, s : 1/2 - s/2, lambda r, s : r/2 + 1/2]
ddN3 = [lambda r, s : s/2 + 1/2, lambda r, s : r/2 + 1/2]
ddN4 = [lambda r, s : s/2 + 1/2, lambda r, s : 1/2 - r/2]
ddN5 = [lambda r, s : s - 1, lambda r, s : 0]
ddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : -r - 1]
ddN7 = [lambda r, s : -s - 1, lambda r, s : 0]
ddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : r - 1]

dddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN5 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN7 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]

ddddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN5 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN7 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]



==================== QUAD9 ====================
N1 = lambda r, s : r*s*(r - 1)*(s - 1)/4
N2 = lambda r, s : r*s*(r + 1)*(s - 1)/4
N3 = lambda r, s : r*s*(r + 1)*(s + 1)/4
N4 = lambda r, s : r*s*(r - 1)*(s + 1)/4
N5 = lambda r, s : -s*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)/2
N6 = lambda r, s : -r*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/2
N7 = lambda r, s : -s*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)/2
N8 = lambda r, s : -r*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)/2
N9 = lambda r, s : (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)

dN1 = [lambda r, s : r*s*(s - 1)/4 + s*(r - 1)*(s - 1)/4, lambda r, s : r*s*(r - 1)/4 + r*(r - 1)*(s - 1)/4]
dN2 = [lambda r, s : r*s*(s - 1)/4 + s*(r + 1)*(s - 1)/4, lambda r, s : r*s*(r + 1)/4 + r*(r + 1)*(s - 1)/4]
dN3 = [lambda r, s : r*s*(s + 1)/4 + s*(r + 1)*(s + 1)/4, lambda r, s : r*s*(r + 1)/4 + r*(r + 1)*(s + 1)/4]
dN4 = [lambda r, s : r*s*(s + 1)/4 + s*(r - 1)*(s + 1)/4, lambda r, s : r*s*(r - 1)/4 + r*(r - 1)*(s + 1)/4]
dN5 = [lambda r, s : -s*(r - 1)*(s - 1)/2 - s*(r + 1)*(s - 1)/2, lambda r, s : -s*(r - 1)*(r + 1)/2 - (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)/2]
dN6 = [lambda r, s : -r*(s - 1)*(s + 1)/2 - (r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/2, lambda r, s : -r*(r + 1)*(s - 1)/2 - r*(r + 1)*(s + 1)/2]
dN7 = [lambda r, s : -s*(r - 1)*(s + 1)/2 - s*(r + 1)*(s + 1)/2, lambda r, s : -s*(r - 1)*(r + 1)/2 - (r - 1)*(r + 1)*(s + 1)/2]
dN8 = [lambda r, s : -r*(s - 1)*(s + 1)/2 - (r - 1)*(s - 1)*(s + 1)/2, lambda r, s : -r*(r - 1)*(s - 1)/2 - r*(r - 1)*(s + 1)/2]
dN9 = [lambda r, s : (r - 1)*(s - 1)*(s + 1) + (r + 1)*(s - 1)*(s + 1), lambda r, s : (r - 1)*(r + 1)*(s - 1) + (r - 1)*(r + 1)*(s + 1)]

ddN1 = [lambda r, s : s*(s - 1)/2, lambda r, s : r*(r - 1)/2]
ddN2 = [lambda r, s : s*(s - 1)/2, lambda r, s : r*(r + 1)/2]
ddN3 = [lambda r, s : s*(s + 1)/2, lambda r, s : r*(r + 1)/2]
ddN4 = [lambda r, s : s*(s + 1)/2, lambda r, s : r*(r - 1)/2]
ddN5 = [lambda r, s : -s*(s - 1), lambda r, s : -(r - 1)*(r + 1)]
ddN6 = [lambda r, s : -(s - 1)*(s + 1), lambda r, s : -r*(r + 1)]
ddN7 = [lambda r, s : -s*(s + 1), lambda r, s : -(r - 1)*(r + 1)]
ddN8 = [lambda r, s : -(s - 1)*(s + 1), lambda r, s : -r*(r - 1)]
ddN9 = [lambda r, s : 2*(s - 1)*(s + 1), lambda r, s : 2*(r - 1)*(r + 1)]

dddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN5 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN7 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
dddN9 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]

ddddN1 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN2 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN3 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN4 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN5 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN6 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN7 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN8 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]
ddddN9 = [lambda r, s : 0, lambda r, s : 0]



=================== TETRA4 ===================
N1 = lambda r, s, t : -r - s - t + 1
N2 = lambda r, s, t : r
N3 = lambda r, s, t : s
N4 = lambda r, s, t : t

dN1 = [lambda r, s, t : -1, lambda r, s, t : -1, lambda r, s, t : -1]
dN2 = [lambda r, s, t : 1, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 1, lambda r, s, t : 0]
dN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 1]

ddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

dddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

ddddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]



=================== TETRA10 ===================
N1 = lambda r, s, t : (r + s + t - 1)*(2*r + 2*s + 2*t - 1)
N2 = lambda r, s, t : r*(2*r - 1)
N3 = lambda r, s, t : s*(2*s - 1)
N4 = lambda r, s, t : t*(2*t - 1)
N5 = lambda r, s, t : -4*r*(r + s + t - 1)
N6 = lambda r, s, t : 4*r*s
N7 = lambda r, s, t : -4*s*(r + s + t - 1)
N8 = lambda r, s, t : -4*t*(r + s + t - 1)
N9 = lambda r, s, t : 4*s*t
N10 = lambda r, s, t : 4*r*t

dN1 = [lambda r, s, t : 4*r + 4*s + 4*t - 3, lambda r, s, t : 4*r + 4*s + 4*t - 3, lambda r, s, t : 4*r + 4*s + 4*t - 3]
dN2 = [lambda r, s, t : 4*r - 1, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 4*s - 1, lambda r, s, t : 0]
dN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 4*t - 1]
dN5 = [lambda r, s, t : -8*r - 4*s - 4*t + 4, lambda r, s, t : -4*r, lambda r, s, t : -4*r]
dN6 = [lambda r, s, t : 4*s, lambda r, s, t : 4*r, lambda r, s, t : 0]
dN7 = [lambda r, s, t : -4*s, lambda r, s, t : -4*r - 8*s - 4*t + 4, lambda r, s, t : -4*s]
dN8 = [lambda r, s, t : -4*t, lambda r, s, t : -4*t, lambda r, s, t : -4*r - 4*s - 8*t + 4]
dN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 4*t, lambda r, s, t : 4*s]
dN10 = [lambda r, s, t : 4*t, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 4*r]

ddN1 = [lambda r, s, t : 4, lambda r, s, t : 4, lambda r, s, t : 4]
ddN2 = [lambda r, s, t : 4, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 4, lambda r, s, t : 0]
ddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 4]
ddN5 = [lambda r, s, t : -8, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -8, lambda r, s, t : 0]
ddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -8]
ddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

dddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

ddddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]



==================== HEXA8 ====================
N1 = lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/8
N2 = lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/8
N3 = lambda r, s, t : -(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/8
N4 = lambda r, s, t : (r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/8
N5 = lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/8
N6 = lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/8
N7 = lambda r, s, t : (r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/8
N8 = lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/8

dN1 = [lambda r, s, t : -(s - 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : -(r - 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)/8]
dN2 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : (r + 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)/8]
dN3 = [lambda r, s, t : -(s + 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : -(r + 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s + 1)/8]
dN4 = [lambda r, s, t : (s + 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : (r - 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : (r - 1)*(s + 1)/8]
dN5 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : (r - 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)/8]
dN6 = [lambda r, s, t : -(s - 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : -(r + 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)/8]
dN7 = [lambda r, s, t : (s + 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : (r + 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : (r + 1)*(s + 1)/8]
dN8 = [lambda r, s, t : -(s + 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : -(r - 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)/8]

ddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

dddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

ddddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]



=================== HEXA20 ===================
N1 = lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(t - 1)*(r + s + t + 2)/8
N2 = lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)*(t - 1)*(r - s - t - 2)/8
N3 = lambda r, s, t : -(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(r + s - t - 2)/8
N4 = lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(r - s + t + 2)/8
N5 = lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(t + 1)*(r + s - t + 2)/8
N6 = lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)*(r - s + t - 2)/8
N7 = lambda r, s, t : (r + 1)*(s + 1)*(t + 1)*(r + s + t - 2)/8
N8 = lambda r, s, t : (r - 1)*(s + 1)*(t + 1)*(r - s - t + 2)/8
N9 = lambda r, s, t : -(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4
N10 = lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4
N11 = lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4
N12 = lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4
N13 = lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4
N14 = lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4
N15 = lambda r, s, t : -(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4
N16 = lambda r, s, t : (r - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4
N17 = lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/4
N18 = lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4
N19 = lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4
N20 = lambda r, s, t : -(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/4

dN1 = [lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/8 + (s - 1)*(t - 1)*(r + s + t + 2)/8, lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/8 + (r - 1)*(t - 1)*(r + s + t + 2)/8, lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/8 + (r - 1)*(s - 1)*(r + s + t + 2)/8]
dN2 = [lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/8 + (s - 1)*(t - 1)*(r - s - t - 2)/8, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/8 + (r + 1)*(t - 1)*(r - s - t - 2)/8, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/8 + (r + 1)*(s - 1)*(r - s - t - 2)/8]
dN3 = [lambda r, s, t : -(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/8 - (s + 1)*(t - 1)*(r + s - t - 2)/8, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/8 - (r + 1)*(t - 1)*(r + s - t - 2)/8, lambda r, s, t : (r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/8 - (r + 1)*(s + 1)*(r + s - t - 2)/8]
dN4 = [lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/8 - (s + 1)*(t - 1)*(r - s + t + 2)/8, lambda r, s, t : (r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/8 - (r - 1)*(t - 1)*(r - s + t + 2)/8, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/8 - (r - 1)*(s + 1)*(r - s + t + 2)/8]
dN5 = [lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/8 - (s - 1)*(t + 1)*(r + s - t + 2)/8, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/8 - (r - 1)*(t + 1)*(r + s - t + 2)/8, lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/8 - (r - 1)*(s - 1)*(r + s - t + 2)/8]
dN6 = [lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/8 - (s - 1)*(t + 1)*(r - s + t - 2)/8, lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/8 - (r + 1)*(t + 1)*(r - s + t - 2)/8, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/8 - (r + 1)*(s - 1)*(r - s + t - 2)/8]
dN7 = [lambda r, s, t : (r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/8 + (s + 1)*(t + 1)*(r + s + t - 2)/8, lambda r, s, t : (r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/8 + (r + 1)*(t + 1)*(r + s + t - 2)/8, lambda r, s, t : (r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/8 + (r + 1)*(s + 1)*(r + s + t - 2)/8]
dN8 = [lambda r, s, t : (r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/8 + (s + 1)*(t + 1)*(r - s - t + 2)/8, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/8 + (r - 1)*(t + 1)*(r - s - t + 2)/8, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/8 + (r - 1)*(s + 1)*(r - s - t + 2)/8]
dN9 = [lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/4 - (r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(r + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)/4]
dN10 = [lambda r, s, t : -(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/4 - (r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)/4]
dN11 = [lambda r, s, t : -(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/4 - (r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/4]
dN12 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4 + (r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/4]
dN13 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4 + (r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/4]
dN14 = [lambda r, s, t : (r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4 + (r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(s + 1)/4]
dN15 = [lambda r, s, t : -(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4 - (r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/4]
dN16 = [lambda r, s, t : (s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4 + (r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4]
dN17 = [lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/4 + (r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)/4]
dN18 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/4 + (r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)*(s + 1)/4]
dN19 = [lambda r, s, t : -(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/4 - (r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/4]
dN20 = [lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4 - (r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(r + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)/4]

ddN1 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)/4]
ddN2 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -(r + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)/4]
ddN3 = [lambda r, s, t : -(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -(r + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : (r + 1)*(s + 1)/4]
ddN4 = [lambda r, s, t : -(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)/4]
ddN5 = [lambda r, s, t : -(s - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r - 1)*(s - 1)/4]
ddN6 = [lambda r, s, t : -(s - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s - 1)/4]
ddN7 = [lambda r, s, t : (s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : (r + 1)*(s + 1)/4]
ddN8 = [lambda r, s, t : (s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s + 1)/4]
ddN9 = [lambda r, s, t : -(s - 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -(r - 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : 0]
ddN11 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)/2]
ddN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : (r + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : 0]
ddN13 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : (r + 1)*(s - 1)/2]
ddN14 = [lambda r, s, t : (s + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN15 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -(r + 1)*(s + 1)/2]
ddN16 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : (r - 1)*(s + 1)/2]
ddN17 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN18 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : (r - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : 0]
ddN19 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -(r + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : 0]
ddN20 = [lambda r, s, t : -(s + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

dddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
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dddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
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ddddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
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ddddN20 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]



=================== HEXA27 ===================
N1 = lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/8
N2 = lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/8
N3 = lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/8
N4 = lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/8
N5 = lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/8
N6 = lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/8
N7 = lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/8
N8 = lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/8
N9 = lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4
N10 = lambda r, s, t : -r*t*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4
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N12 = lambda r, s, t : -r*t*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4
N13 = lambda r, s, t : -r*s*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4
N14 = lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4
N15 = lambda r, s, t : -r*s*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4
N16 = lambda r, s, t : -r*s*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4
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N24 = lambda r, s, t : r*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2
N25 = lambda r, s, t : s*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2
N26 = lambda r, s, t : t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/2
N27 = lambda r, s, t : -(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)

dN1 = [lambda r, s, t : r*s*t*(s - 1)*(t - 1)/8 + s*t*(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(t - 1)/8 + r*t*(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(s - 1)/8 + r*s*(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/8]
dN2 = [lambda r, s, t : r*s*t*(s - 1)*(t - 1)/8 + s*t*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(t - 1)/8 + r*t*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(s - 1)/8 + r*s*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/8]
dN3 = [lambda r, s, t : r*s*t*(s + 1)*(t - 1)/8 + s*t*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(t - 1)/8 + r*t*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(s + 1)/8 + r*s*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/8]
dN4 = [lambda r, s, t : r*s*t*(s + 1)*(t - 1)/8 + s*t*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(t - 1)/8 + r*t*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(s + 1)/8 + r*s*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/8]
dN5 = [lambda r, s, t : r*s*t*(s - 1)*(t + 1)/8 + s*t*(r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(t + 1)/8 + r*t*(r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(s - 1)/8 + r*s*(r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/8]
dN6 = [lambda r, s, t : r*s*t*(s - 1)*(t + 1)/8 + s*t*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(t + 1)/8 + r*t*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(s - 1)/8 + r*s*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/8]
dN7 = [lambda r, s, t : r*s*t*(s + 1)*(t + 1)/8 + s*t*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(t + 1)/8 + r*t*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r + 1)*(s + 1)/8 + r*s*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/8]
dN8 = [lambda r, s, t : r*s*t*(s + 1)*(t + 1)/8 + s*t*(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(t + 1)/8 + r*t*(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/8, lambda r, s, t : r*s*t*(r - 1)*(s + 1)/8 + r*s*(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/8]
dN9 = [lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/4 - s*t*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(t - 1)/4 - t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)/4 - s*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4]
dN10 = [lambda r, s, t : -r*t*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4 - t*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -r*t*(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)/4 - r*t*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -r*t*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)/4 - r*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4]
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dN12 = [lambda r, s, t : -r*t*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4 - t*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -r*t*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4 - r*t*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -r*t*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/4 - r*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4]
dN13 = [lambda r, s, t : -r*s*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4 - s*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*s*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4 - r*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*s*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/4 - r*s*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/4]
dN14 = [lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4 - s*t*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(t - 1)/4 - t*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)/4 - s*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4]
dN15 = [lambda r, s, t : -r*s*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4 - s*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*s*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4 - r*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*s*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/4 - r*s*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/4]
dN16 = [lambda r, s, t : -r*s*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4 - s*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*s*(r - 1)*(t - 1)*(t + 1)/4 - r*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*s*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)/4 - r*s*(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4]
dN17 = [lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/4 - s*t*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(t + 1)/4 - t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)/4 - s*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/4]
dN18 = [lambda r, s, t : -r*t*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4 - t*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*t*(r - 1)*(s - 1)*(t + 1)/4 - r*t*(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*t*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)/4 - r*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4]
dN19 = [lambda r, s, t : -r*t*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4 - t*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*t*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/4 - r*t*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -r*t*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/4 - r*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4]
dN20 = [lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(s + 1)*(t + 1)/4 - s*t*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(t + 1)/4 - t*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : -s*t*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)/4 - s*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/4]
dN21 = [lambda r, s, t : t*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/2 + t*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/2 + t*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/2 + (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/2]
dN22 = [lambda r, s, t : s*(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/2 + s*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : s*(r - 1)*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2 + (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : s*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)/2 + s*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/2]
dN23 = [lambda r, s, t : r*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2 + (r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : r*(r - 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/2 + r*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : r*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/2 + r*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/2]
dN24 = [lambda r, s, t : r*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2 + (r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : r*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/2 + r*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : r*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/2 + r*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/2]
dN25 = [lambda r, s, t : s*(r - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2 + s*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : s*(r - 1)*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2 + (r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : s*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)/2 + s*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/2]
dN26 = [lambda r, s, t : t*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/2 + t*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t + 1)/2 + t*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : t*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/2 + (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/2]
dN27 = [lambda r, s, t : -(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1) - (r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1) - (r - 1)*(r + 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1) - (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)]

ddN1 = [lambda r, s, t : s*t*(s - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : r*t*(r - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : r*s*(r - 1)*(s - 1)/4]
ddN2 = [lambda r, s, t : s*t*(s - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : r*t*(r + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : r*s*(r + 1)*(s - 1)/4]
ddN3 = [lambda r, s, t : s*t*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : r*t*(r + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : r*s*(r + 1)*(s + 1)/4]
ddN4 = [lambda r, s, t : s*t*(s + 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : r*t*(r - 1)*(t - 1)/4, lambda r, s, t : r*s*(r - 1)*(s + 1)/4]
ddN5 = [lambda r, s, t : s*t*(s - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : r*t*(r - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : r*s*(r - 1)*(s - 1)/4]
ddN6 = [lambda r, s, t : s*t*(s - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : r*t*(r + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : r*s*(r + 1)*(s - 1)/4]
ddN7 = [lambda r, s, t : s*t*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : r*t*(r + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : r*s*(r + 1)*(s + 1)/4]
ddN8 = [lambda r, s, t : s*t*(s + 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : r*t*(r - 1)*(t + 1)/4, lambda r, s, t : r*s*(r - 1)*(s + 1)/4]
ddN9 = [lambda r, s, t : -s*t*(s - 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : -t*(r - 1)*(r + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : -s*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)/2]
ddN10 = [lambda r, s, t : -t*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : -r*t*(r - 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : -r*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)/2]
ddN11 = [lambda r, s, t : -s*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*(r - 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*s*(r - 1)*(s - 1)/2]
ddN12 = [lambda r, s, t : -t*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : -r*t*(r + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : -r*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/2]
ddN13 = [lambda r, s, t : -s*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*s*(r + 1)*(s - 1)/2]
ddN14 = [lambda r, s, t : -s*t*(s + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : -t*(r - 1)*(r + 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : -s*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)/2]
ddN15 = [lambda r, s, t : -s*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*s*(r + 1)*(s + 1)/2]
ddN16 = [lambda r, s, t : -s*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*(r - 1)*(t - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*s*(r - 1)*(s + 1)/2]
ddN17 = [lambda r, s, t : -s*t*(s - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -t*(r - 1)*(r + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -s*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)/2]
ddN18 = [lambda r, s, t : -t*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*t*(r - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)/2]
ddN19 = [lambda r, s, t : -t*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*t*(r + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -r*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)/2]
ddN20 = [lambda r, s, t : -s*t*(s + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -t*(r - 1)*(r + 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : -s*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)/2]
ddN21 = [lambda r, s, t : t*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1), lambda r, s, t : t*(r - 1)*(r + 1)*(t - 1), lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)]
ddN22 = [lambda r, s, t : s*(s - 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : s*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)]
ddN23 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : r*(r - 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : r*(r - 1)*(s - 1)*(s + 1)]
ddN24 = [lambda r, s, t : (s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : r*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : r*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)]
ddN25 = [lambda r, s, t : s*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : s*(r - 1)*(r + 1)*(s + 1)]
ddN26 = [lambda r, s, t : t*(s - 1)*(s + 1)*(t + 1), lambda r, s, t : t*(r - 1)*(r + 1)*(t + 1), lambda r, s, t : (r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)]
ddN27 = [lambda r, s, t : -2*(s - 1)*(s + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -2*(r - 1)*(r + 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -2*(r - 1)*(r + 1)*(s - 1)*(s + 1)]

dddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN11 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN13 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN14 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN15 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN16 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN17 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN18 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN19 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN20 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN21 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN22 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN23 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN24 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN25 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN26 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN27 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

ddddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN11 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN13 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN14 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN15 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN16 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN17 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN18 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN19 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN20 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN21 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN22 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN23 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN24 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN25 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN26 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN27 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]



=================== PRISM6 ===================
N1 = lambda r, s, t : (t - 1)*(r + s - 1)/2
N2 = lambda r, s, t : -r*(t - 1)/2
N3 = lambda r, s, t : -s*(t - 1)/2
N4 = lambda r, s, t : -(t + 1)*(r + s - 1)/2
N5 = lambda r, s, t : r*(t + 1)/2
N6 = lambda r, s, t : s*(t + 1)/2

dN1 = [lambda r, s, t : t/2 - 1/2, lambda r, s, t : t/2 - 1/2, lambda r, s, t : r/2 + s/2 - 1/2]
dN2 = [lambda r, s, t : 1/2 - t/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -r/2]
dN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 1/2 - t/2, lambda r, s, t : -s/2]
dN4 = [lambda r, s, t : -t/2 - 1/2, lambda r, s, t : -t/2 - 1/2, lambda r, s, t : -r/2 - s/2 + 1/2]
dN5 = [lambda r, s, t : t/2 + 1/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : r/2]
dN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : t/2 + 1/2, lambda r, s, t : s/2]

ddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

dddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

ddddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]



=================== PRISM15 ===================
N1 = lambda r, s, t : -(t - 1)*(r + s - 1)*(2*r + 2*s + t)/2
N2 = lambda r, s, t : -r*(t - 1)*(2*r - t - 2)/2
N3 = lambda r, s, t : -s*(t - 1)*(2*s - t - 2)/2
N4 = lambda r, s, t : (t + 1)*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - t)/2
N5 = lambda r, s, t : r*(t + 1)*(2*r + t - 2)/2
N6 = lambda r, s, t : s*(t + 1)*(2*s + t - 2)/2
N7 = lambda r, s, t : 2*r*(t - 1)*(r + s - 1)
N8 = lambda r, s, t : 2*s*(t - 1)*(r + s - 1)
N9 = lambda r, s, t : (t - 1)*(t + 1)*(r + s - 1)
N10 = lambda r, s, t : -2*r*s*(t - 1)
N11 = lambda r, s, t : -r*(t - 1)*(t + 1)
N12 = lambda r, s, t : -s*(t - 1)*(t + 1)
N13 = lambda r, s, t : -2*r*(t + 1)*(r + s - 1)
N14 = lambda r, s, t : -2*s*(t + 1)*(r + s - 1)
N15 = lambda r, s, t : 2*r*s*(t + 1)

dN1 = [lambda r, s, t : -(t - 1)*(r + s - 1) - (t - 1)*(2*r + 2*s + t)/2, lambda r, s, t : -(t - 1)*(r + s - 1) - (t - 1)*(2*r + 2*s + t)/2, lambda r, s, t : -(t - 1)*(r + s - 1)/2 - (r + s - 1)*(2*r + 2*s + t)/2]
dN2 = [lambda r, s, t : -r*(t - 1) - (t - 1)*(2*r - t - 2)/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : r*(t - 1)/2 - r*(2*r - t - 2)/2]
dN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -s*(t - 1) - (t - 1)*(2*s - t - 2)/2, lambda r, s, t : s*(t - 1)/2 - s*(2*s - t - 2)/2]
dN4 = [lambda r, s, t : (t + 1)*(r + s - 1) + (t + 1)*(2*r + 2*s - t)/2, lambda r, s, t : (t + 1)*(r + s - 1) + (t + 1)*(2*r + 2*s - t)/2, lambda r, s, t : -(t + 1)*(r + s - 1)/2 + (r + s - 1)*(2*r + 2*s - t)/2]
dN5 = [lambda r, s, t : r*(t + 1) + (t + 1)*(2*r + t - 2)/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : r*(t + 1)/2 + r*(2*r + t - 2)/2]
dN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : s*(t + 1) + (t + 1)*(2*s + t - 2)/2, lambda r, s, t : s*(t + 1)/2 + s*(2*s + t - 2)/2]
dN7 = [lambda r, s, t : 2*r*(t - 1) + 2*(t - 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : 2*r*(t - 1), lambda r, s, t : 2*r*(r + s - 1)]
dN8 = [lambda r, s, t : 2*s*(t - 1), lambda r, s, t : 2*s*(t - 1) + 2*(t - 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : 2*s*(r + s - 1)]
dN9 = [lambda r, s, t : (t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : (t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : (t - 1)*(r + s - 1) + (t + 1)*(r + s - 1)]
dN10 = [lambda r, s, t : -2*s*(t - 1), lambda r, s, t : -2*r*(t - 1), lambda r, s, t : -2*r*s]
dN11 = [lambda r, s, t : -(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -r*(t - 1) - r*(t + 1)]
dN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -s*(t - 1) - s*(t + 1)]
dN13 = [lambda r, s, t : -2*r*(t + 1) - 2*(t + 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : -2*r*(t + 1), lambda r, s, t : -2*r*(r + s - 1)]
dN14 = [lambda r, s, t : -2*s*(t + 1), lambda r, s, t : -2*s*(t + 1) - 2*(t + 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : -2*s*(r + s - 1)]
dN15 = [lambda r, s, t : 2*s*(t + 1), lambda r, s, t : 2*r*(t + 1), lambda r, s, t : 2*r*s]

ddN1 = [lambda r, s, t : 2 - 2*t, lambda r, s, t : 2 - 2*t, lambda r, s, t : -r - s + 1]
ddN2 = [lambda r, s, t : 2 - 2*t, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : r]
ddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 2 - 2*t, lambda r, s, t : s]
ddN4 = [lambda r, s, t : 2*t + 2, lambda r, s, t : 2*t + 2, lambda r, s, t : -r - s + 1]
ddN5 = [lambda r, s, t : 2*t + 2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : r]
ddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 2*t + 2, lambda r, s, t : s]
ddN7 = [lambda r, s, t : 4*t - 4, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 4*t - 4, lambda r, s, t : 0]
ddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 2*r + 2*s - 2]
ddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN11 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -2*r]
ddN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -2*s]
ddN13 = [lambda r, s, t : -4*t - 4, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddN14 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -4*t - 4, lambda r, s, t : 0]
ddN15 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

dddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN11 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN13 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN14 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN15 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

ddddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN11 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN13 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN14 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN15 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]



=================== PRISM18 ===================
N1 = lambda r, s, t : t*(t - 1)*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)/2
N2 = lambda r, s, t : r*t*(2*r - 1)*(t - 1)/2
N3 = lambda r, s, t : s*t*(2*s - 1)*(t - 1)/2
N4 = lambda r, s, t : t*(t + 1)*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)/2
N5 = lambda r, s, t : r*t*(2*r - 1)*(t + 1)/2
N6 = lambda r, s, t : s*t*(2*s - 1)*(t + 1)/2
N7 = lambda r, s, t : -2*r*t*(t - 1)*(r + s - 1)
N8 = lambda r, s, t : -2*s*t*(t - 1)*(r + s - 1)
N9 = lambda r, s, t : -(t - 1)*(t + 1)*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)
N10 = lambda r, s, t : 2*r*s*t*(t - 1)
N11 = lambda r, s, t : -r*(2*r - 1)*(t - 1)*(t + 1)
N12 = lambda r, s, t : -s*(2*s - 1)*(t - 1)*(t + 1)
N13 = lambda r, s, t : -2*r*t*(t + 1)*(r + s - 1)
N14 = lambda r, s, t : -2*s*t*(t + 1)*(r + s - 1)
N15 = lambda r, s, t : 2*r*s*t*(t + 1)
N16 = lambda r, s, t : 4*r*(t - 1)*(t + 1)*(r + s - 1)
N17 = lambda r, s, t : 4*s*(t - 1)*(t + 1)*(r + s - 1)
N18 = lambda r, s, t : -4*r*s*(t - 1)*(t + 1)

dN1 = [lambda r, s, t : t*(t - 1)*(r + s - 1) + t*(t - 1)*(2*r + 2*s - 1)/2, lambda r, s, t : t*(t - 1)*(r + s - 1) + t*(t - 1)*(2*r + 2*s - 1)/2, lambda r, s, t : t*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)/2 + (t - 1)*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)/2]
dN2 = [lambda r, s, t : r*t*(t - 1) + t*(2*r - 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : r*t*(2*r - 1)/2 + r*(2*r - 1)*(t - 1)/2]
dN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : s*t*(t - 1) + t*(2*s - 1)*(t - 1)/2, lambda r, s, t : s*t*(2*s - 1)/2 + s*(2*s - 1)*(t - 1)/2]
dN4 = [lambda r, s, t : t*(t + 1)*(r + s - 1) + t*(t + 1)*(2*r + 2*s - 1)/2, lambda r, s, t : t*(t + 1)*(r + s - 1) + t*(t + 1)*(2*r + 2*s - 1)/2, lambda r, s, t : t*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)/2 + (t + 1)*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)/2]
dN5 = [lambda r, s, t : r*t*(t + 1) + t*(2*r - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : r*t*(2*r - 1)/2 + r*(2*r - 1)*(t + 1)/2]
dN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : s*t*(t + 1) + t*(2*s - 1)*(t + 1)/2, lambda r, s, t : s*t*(2*s - 1)/2 + s*(2*s - 1)*(t + 1)/2]
dN7 = [lambda r, s, t : -2*r*t*(t - 1) - 2*t*(t - 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : -2*r*t*(t - 1), lambda r, s, t : -2*r*t*(r + s - 1) - 2*r*(t - 1)*(r + s - 1)]
dN8 = [lambda r, s, t : -2*s*t*(t - 1), lambda r, s, t : -2*s*t*(t - 1) - 2*t*(t - 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : -2*s*t*(r + s - 1) - 2*s*(t - 1)*(r + s - 1)]
dN9 = [lambda r, s, t : -2*(t - 1)*(t + 1)*(r + s - 1) - (t - 1)*(t + 1)*(2*r + 2*s - 1), lambda r, s, t : -2*(t - 1)*(t + 1)*(r + s - 1) - (t - 1)*(t + 1)*(2*r + 2*s - 1), lambda r, s, t : -(t - 1)*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1) - (t + 1)*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)]
dN10 = [lambda r, s, t : 2*s*t*(t - 1), lambda r, s, t : 2*r*t*(t - 1), lambda r, s, t : 2*r*s*t + 2*r*s*(t - 1)]
dN11 = [lambda r, s, t : -2*r*(t - 1)*(t + 1) - (2*r - 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -r*(2*r - 1)*(t - 1) - r*(2*r - 1)*(t + 1)]
dN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -2*s*(t - 1)*(t + 1) - (2*s - 1)*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -s*(2*s - 1)*(t - 1) - s*(2*s - 1)*(t + 1)]
dN13 = [lambda r, s, t : -2*r*t*(t + 1) - 2*t*(t + 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : -2*r*t*(t + 1), lambda r, s, t : -2*r*t*(r + s - 1) - 2*r*(t + 1)*(r + s - 1)]
dN14 = [lambda r, s, t : -2*s*t*(t + 1), lambda r, s, t : -2*s*t*(t + 1) - 2*t*(t + 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : -2*s*t*(r + s - 1) - 2*s*(t + 1)*(r + s - 1)]
dN15 = [lambda r, s, t : 2*s*t*(t + 1), lambda r, s, t : 2*r*t*(t + 1), lambda r, s, t : 2*r*s*t + 2*r*s*(t + 1)]
dN16 = [lambda r, s, t : 4*r*(t - 1)*(t + 1) + 4*(t - 1)*(t + 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : 4*r*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : 4*r*(t - 1)*(r + s - 1) + 4*r*(t + 1)*(r + s - 1)]
dN17 = [lambda r, s, t : 4*s*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : 4*s*(t - 1)*(t + 1) + 4*(t - 1)*(t + 1)*(r + s - 1), lambda r, s, t : 4*s*(t - 1)*(r + s - 1) + 4*s*(t + 1)*(r + s - 1)]
dN18 = [lambda r, s, t : -4*s*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -4*r*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -4*r*s*(t - 1) - 4*r*s*(t + 1)]

ddN1 = [lambda r, s, t : 2*t*(t - 1), lambda r, s, t : 2*t*(t - 1), lambda r, s, t : (r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)]
ddN2 = [lambda r, s, t : 2*t*(t - 1), lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : r*(2*r - 1)]
ddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 2*t*(t - 1), lambda r, s, t : s*(2*s - 1)]
ddN4 = [lambda r, s, t : 2*t*(t + 1), lambda r, s, t : 2*t*(t + 1), lambda r, s, t : (r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)]
ddN5 = [lambda r, s, t : 2*t*(t + 1), lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : r*(2*r - 1)]
ddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 2*t*(t + 1), lambda r, s, t : s*(2*s - 1)]
ddN7 = [lambda r, s, t : -4*t*(t - 1), lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -4*r*(r + s - 1)]
ddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -4*t*(t - 1), lambda r, s, t : -4*s*(r + s - 1)]
ddN9 = [lambda r, s, t : -4*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -4*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -2*(r + s - 1)*(2*r + 2*s - 1)]
ddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 4*r*s]
ddN11 = [lambda r, s, t : -4*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -2*r*(2*r - 1)]
ddN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -4*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : -2*s*(2*s - 1)]
ddN13 = [lambda r, s, t : -4*t*(t + 1), lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -4*r*(r + s - 1)]
ddN14 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -4*t*(t + 1), lambda r, s, t : -4*s*(r + s - 1)]
ddN15 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 4*r*s]
ddN16 = [lambda r, s, t : 8*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 8*r*(r + s - 1)]
ddN17 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 8*(t - 1)*(t + 1), lambda r, s, t : 8*s*(r + s - 1)]
ddN18 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : -8*r*s]

dddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN11 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN13 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN14 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN15 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN16 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN17 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
dddN18 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]

ddddN1 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN2 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN3 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN4 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN5 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN6 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN7 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN8 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN9 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN10 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN11 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN12 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN13 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN14 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN15 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN16 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN17 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]
ddddN18 = [lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0, lambda r, s, t : 0]


  12 import numpy as np
  13 import matplotlib.pyplot as plt
  14 from EasyFEA import Display
  15
  16 try:
  17     import sympy
  18 except ModuleNotFoundError:
  19     raise Exception("sympy must be installed!")
  20
  21 Display.Clear()
  22
  23 # SEGMENTS
  24 # TRIANGLES
  25 # QUADRANGLES
  26 # TETRAHEDRON
  27 # HEXAHEDRON
  28 # PRISM
  29
  30 # ----------------------------------------------
  31 # Options
  32 # ----------------------------------------------
  33
  34 plot_dN = True
  35 plot_ddN = True
  36 plot_dddN = True
  37 plot_ddddN = True
  38
  39 # coords = sympy.symbols("x, y, z")
  40 coords = sympy.symbols("r, s, t")
  41
  42 # ----------------------------------------------
  43 # Public functions
  44 # ----------------------------------------------
  45
  46
  47 def Compute_and_Print(
  48     polynom, *args, useSimplify=True, useFactor=True, useEulerBernoulli=False
  49 ):
  50     """Compute and print shape functions and their derivatives for a given polynom.
  51
  52     Parameters
  53     ----------
  54     polynom : function
  55         Polynomial basis function taking 1, 2, or 3 arguments.
  56     args : tuple
  57         Coordinates (1, 2, or 3 lists of x, y, z).
  58     useSimplify : bool, optional
  59         Simplify the shape functions. Default is True.
  60     useFactor : bool, optional
  61         Factor the shape functions. Default is True.
  62     useEulerBernoulli : bool, optional
  63         useEulerBernoulli shape functions. Default is False.
  64     """
  65
  66     local_coords, dim = __Get_local_coords_and_dim(*args)
  67
  68     shape_functions = __Get_shape_functions(
  69         polynom, local_coords, dim, useSimplify, useFactor, useEulerBernoulli
  70     )
  71
  72     __Print_functions(shape_functions, dim, "N")
  73
  74     # derivative_shape_functions
  75     if plot_dN:
  76         dN_functions = __Get_derivative_functions(shape_functions, dim, 1)
  77         __Print_functions(dN_functions, dim, "dN")
  78
  79     if plot_ddN:
  80         ddN_functions = __Get_derivative_functions(shape_functions, dim, 2)
  81         __Print_functions(ddN_functions, dim, "ddN")
  82
  83     if plot_dddN:
  84         dddN_functions = __Get_derivative_functions(shape_functions, dim, 3)
  85         __Print_functions(dddN_functions, dim, "dddN")
  86
  87     if plot_ddddN:
  88         ddddN_functions = __Get_derivative_functions(shape_functions, dim, 4)
  89         __Print_functions(ddddN_functions, dim, "ddddN")
  90
  91
  92 def Plot_Nodes(title: str, *args):
  93     local_coords, dim = __Get_local_coords_and_dim(*args)
  94     nPe = local_coords.shape[0]
  95
  96     list_x, list_y, list_z = local_coords.T
  97
  98     if dim == 3:
  99         ax = Display.Init_Axes(3, elev=16, azim=37)
 100         ax.set_xlabel("x")
 101         ax.set_ylabel("y")
 102         ax.set_zlabel("z")
 103         ax.set_title(title)
 104         ax.axis("equal")
 105
 106         ax.scatter(list_x, list_y, list_z)
 107         [ax.text(list_x[i], list_y[i], list_z[i], i) for i in range(nPe)]
 108     else:
 109         ax = Display.Init_Axes(2)
 110         ax.set_xlabel("x")
 111         ax.set_ylabel("y")
 112         ax.set_title(title)
 113         ax.axis("equal")
 114         ax.grid(zorder=-10)
 115
 116         ax.scatter(list_x, list_y)
 117         [ax.text(list_x[i], list_y[i], i + 1) for i in range(nPe)]
 118
 119
 120 # ----------------------------------------------
 121 # Private functions do not touch
 122 # ----------------------------------------------
 123
 124
 125 def __Get_local_coords_and_dim(*args):
 126     # Get dim
 127     dim = len(args)
 128     assert dim in [1, 2, 3], "The number of lists in args must be 1, 2, or 3."
 129
 130     # Get coordinates
 131     list_x = args[0]
 132     nPe = len(list_x)
 133
 134     list_y = args[1] if dim > 1 else [0] * nPe
 135     assert (
 136         len(list_y) == nPe
 137     ), "The length of list_y must be equal to the length of list_x."
 138
 139     list_z = args[2] if dim > 2 else [0] * nPe
 140     assert (
 141         len(list_z) == nPe
 142     ), "The length of list_z must be equal to the length of list_x."
 143
 144     local_coords = np.array([list_x, list_y, list_z]).T
 145
 146     return local_coords, dim
 147
 148
 149 def __Get_shape_functions(
 150     polynom,
 151     local_coords: np.ndarray,
 152     dim: int,
 153     useSimplify=True,
 154     useFactor=True,
 155     useEulerBernoulli=False,
 156 ) -> list:
 157     nPe = local_coords.shape[0]
 158
 159     nF = __Get_functions_per_node(polynom, local_coords, dim)
 160
 161     if useEulerBernoulli:
 162         assert nF == 2, "euler bernoulli shape functions use 2 functions per node!"
 163
 164     # construct matrix a
 165     matrix_A = __Get_matrix_A(polynom, local_coords, dim)
 166
 167     # Get symbols and coords symbols
 168     symbols = sympy.symbols(f"x0:{nPe * nF}")
 169
 170     functions = []
 171
 172     for i in range(nPe * nF):
 173         # construct vector b
 174         vector_b = np.zeros(nPe * nF)
 175         if useEulerBernoulli:
 176             vector_b[i] = 1 if i % 2 == 0 else 1 / 2
 177             coefs = polynom(*coords[:dim])[0]
 178         else:
 179             vector_b[i] = 1
 180             coefs = polynom(*coords[:dim])
 181
 182         # solve x from A x = b
 183         vector_x = np.linalg.solve(matrix_A, vector_b)
 184         # check that A x = b
 185         assert np.linalg.norm(matrix_A @ vector_x - vector_b) <= 1e-12
 186
 187         # construct shape function
 188         function = sum(coef * term for coef, term in zip(symbols, coefs))
 189         # apply values
 190         function = function.subs({key: value for key, value in zip(symbols, vector_x)})
 191
 192         # apply function display properties
 193         function = __chop(function)
 194         if useSimplify:
 195             function = function.nsimplify()
 196         if useFactor:
 197             function = function.factor()
 198
 199         functions.append(function)
 200
 201     return functions
 202
 203
 204 def __Get_matrix_A(polynom, local_coords: np.ndarray, dim: int):
 205     nPe = local_coords.shape[0]
 206
 207     nF = __Get_functions_per_node(polynom, local_coords, dim)
 208     indexes = np.arange(nPe * nF)
 209     if nF > 1:
 210         indexes = indexes.reshape(-1, 2)
 211
 212     matrix_A = np.zeros((nPe * nF, nPe * nF))
 213
 214     for n in range(nPe):
 215         matrix_A[indexes[n], :] = polynom(*local_coords[n, :dim])
 216
 217     return matrix_A
 218
 219
 220 def __Get_functions_per_node(polynom, local_coords: np.ndarray, dim: int) -> int:
 221     eval = np.array(polynom(*local_coords[0, :dim]))
 222     if len(eval.shape) == 2:
 223         return eval.shape[0]
 224     elif len(eval.shape) == 1:
 225         return 1
 226     else:
 227         raise Exception("polynom must be a function or a list of functions.")
 228
 229
 230 def __Get_derivative_functions(functions, dim, order):
 231     assert isinstance(functions, list), "functions must be a list"
 232     assert dim in [1, 2, 3]
 233     assert order >= 1 and isinstance(order, int), "order must be >= 1"
 234
 235     derivative_functions = []
 236
 237     for function in functions:
 238         functions_per_dim = []
 239
 240         # loop on dimensions
 241         for coord in coords[:dim]:
 242             func = function  # copy of `function`
 243             # loop to derive the func function
 244             for _ in range(order):
 245                 func = func.diff(coord)
 246             functions_per_dim.append(func)
 247
 248         derivative_functions.append(functions_per_dim)
 249
 250     return derivative_functions
 251
 252
 253 def __Print_functions(functions: list, dim: int, name="", printArray=False):
 254     # lamba string (e.g. lamda r, s)
 255     lambda_str = f"lambda {', '.join(str(coord) for coord in coords[:dim])}"
 256
 257     # print each functions
 258     for i, function in enumerate(functions):
 259         if isinstance(function, list):
 260             print(
 261                 f"{name}{i + 1} = [{', '.join(f'{lambda_str} : {func}' for func in function)}]"
 262             )
 263         else:
 264             print(f"{name}{i + 1} = {lambda_str} : {function}")
 265
 266     print()
 267     if printArray:
 268         end = ".reshape(-1, 1)" if len(np.shape(functions)) == 1 else ""
 269         nF = len(functions)
 270         print(
 271             f"{name} = np.array([{', '.join(f'{name}{i + 1}' for i in range(nF))}]){end}\n"
 272         )
 273
 274
 275 def __chop(expr):
 276     """Recursive function that replaces small values in the sympy expression with zero."""
 277     if isinstance(expr, sympy.Float) and abs(expr) < 1e-12:
 278         return sympy.S.Zero
 279     elif isinstance(expr, sympy.Add):
 280         return sympy.Add(*[__chop(arg) for arg in expr.args])
 281     elif isinstance(expr, sympy.Mul):
 282         return sympy.Mul(*[__chop(arg) for arg in expr.args])
 283     elif isinstance(expr, sympy.Pow):
 284         return sympy.Pow(__chop(expr.base), expr.exp)
 285     else:
 286         return expr
 287
 288
 289 # ----------------------------------------------
 290 # SEGMENTS
 291 # ----------------------------------------------
 292
 293
 294 def Do_Segments():
 295     # ----------------------------------------------
 296     # SEG 2
 297     # ----------------------------------------------
 298     #       v
 299     #       ^
 300     #       |
 301     #       |
 302     #  0----+----1 --> u
 303     # ----------------------------------------------
 304
 305     name = "SEG2"
 306     Display.Section(name)
 307
 308     list_x = [-1, 1]
 309     Plot_Nodes(name, list_x)
 310
 311     polynom = lambda x: [x, 1]
 312     Compute_and_Print(polynom, list_x)
 313
 314     Display.Section(name + " EulerBernoulli")
 315     polynom = lambda x: [[1, x, x**2, x**3], [0, 1, 2 * x, 3 * x**2]]
 316     Compute_and_Print(polynom, list_x, useEulerBernoulli=True)
 317
 318     # ----------------------------------------------
 319     # SEG 3
 320     # ----------------------------------------------
 321     #       v
 322     #       ^
 323     #       |
 324     #       |
 325     #  0----2----1 --> u
 326     # ----------------------------------------------
 327
 328     name = "SEG3"
 329     Display.Section(name)
 330
 331     list_x = [-1, 1, 0]
 332     Plot_Nodes(name, list_x)
 333
 334     polynom = lambda x: [x**2, x, 1]
 335     Compute_and_Print(polynom, list_x)
 336
 337     Display.Section(name + " EulerBernoulli")
 338     polynom = lambda x: [
 339         [1, x, x**2, x**3, x**4, x**5],
 340         [0, 1, 2 * x, 3 * x**2, 4 * x**3, 5 * x**4],
 341     ]
 342     Compute_and_Print(polynom, list_x, useEulerBernoulli=True)
 343
 344     # ----------------------------------------------
 345     # SEG 4
 346     # ----------------------------------------------
 347     #        v
 348     #        ^
 349     #        |
 350     #        |
 351     #  0---2-+-3---1 --> u
 352     # ----------------------------------------------
 353
 354     name = "SEG4"
 355     Display.Section(name)
 356
 357     list_x = [-1, 1, -1 / 3, 1 / 3]
 358     Plot_Nodes(name, list_x)
 359
 360     polynom = lambda x: [x**3, x**2, x, 1]
 361     Compute_and_Print(polynom, list_x, useFactor=False)
 362
 363     Display.Section(name + " EulerBernoulli")
 364     polynom = lambda x: [
 365         [1, x, x**2, x**3, x**4, x**5, x**6, x**7],
 366         [0, 1, 2 * x, 3 * x**2, 4 * x**3, 5 * x**4, 6 * x**5, 7 * x**6],
 367     ]
 368     Compute_and_Print(polynom, list_x, useEulerBernoulli=True, useFactor=False)
 369
 370     # ----------------------------------------------
 371     # SEG 5
 372     # ----------------------------------------------
 373     #        v
 374     #        ^
 375     #        |
 376     #        |
 377     #  0--2--3--4--1 --> u
 378     # ----------------------------------------------
 379
 380     name = "SEG5"
 381     Display.Section(name)
 382
 383     list_x = [-1, 1, -1 / 2, 0, 1 / 2]
 384     Plot_Nodes(name, list_x)
 385
 386     polynom = lambda x: [x**4, x**3, x**2, x, 1]
 387
 388     Compute_and_Print(polynom, list_x, useFactor=False)
 389
 390     Display.Section(name + " EulerBernoulli")
 391     polynom = lambda x: [
 392         [1, x, x**2, x**3, x**4, x**5, x**6, x**7, x**8, x**9],
 393         [
 394             0,
 395             1,
 396             2 * x,
 397             3 * x**2,
 398             4 * x**3,
 399             5 * x**4,
 400             6 * x**5,
 401             7 * x**6,
 402             8 * x**7,
 403             9 * x**8,
 404         ],
 405     ]
 406     Compute_and_Print(polynom, list_x, useEulerBernoulli=True, useFactor=False)
 407
 408
 409 # ----------------------------------------------
 410 # TRIANGLES
 411 # ----------------------------------------------
 412
 413
 414 def Do_Triangles():
 415     # ----------------------------------------------
 416     # TRI3
 417     # ----------------------------------------------
 418     # v
 419     # ^
 420     # |
 421     # 2
 422     # |`\
 423     # |  `\
 424     # |    `\
 425     # |      `\
 426     # |        `\
 427     # 0----------1 --> u
 428     # ----------------------------------------------
 429
 430     name = "TRI3"
 431     Display.Section(name)
 432
 433     list_x = [0, 1, 0]
 434     list_y = [0, 0, 1]
 435     Plot_Nodes(name, list_x, list_y)
 436
 437     polynom = lambda x, y: [x, y, 1]
 438
 439     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y)
 440
 441     # ----------------------------------------------
 442     # TRI6
 443     # ----------------------------------------------
 444     # v
 445     # ^
 446     # |
 447     # 2
 448     # |`\
 449     # |  `\
 450     # 5    `4
 451     # |      `\
 452     # |        `\
 453     # 0----3-----1 --> u
 454     # ----------------------------------------------
 455
 456     name = "TRI6"
 457     Display.Section(name)
 458
 459     list_x = [0, 1, 0, 0.5, 0.5, 0]
 460     list_y = [0, 0, 1, 0, 0.5, 0.5]
 461     Plot_Nodes(name, list_x, list_y)
 462
 463     polynom = lambda x, y: [x**2, y**2, x * y, x, y, 1]
 464
 465     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y)
 466
 467     # ----------------------------------------------
 468     # TRI10
 469     # ----------------------------------------------
 470     # v
 471     # ^
 472     # |
 473     # 2
 474     # | \
 475     # 7   6
 476     # |     \
 477     # 8  (9)  5
 478     # |         \
 479     # 0---3---4---1 --> u
 480     # ----------------------------------------------
 481
 482     name = "TRI10"
 483     Display.Section(name)
 484
 485     # fmt: off
 486     list_x = [
 487         0,1,0,
 488         1/3,2/3,
 489         2/3, 1/3,
 490         0,0,
 491         1/3
 492     ]
 493     list_y = [
 494         0,0,1,
 495         0,0,
 496         1/3, 2/3,
 497         2/3,1/3,
 498         1/3
 499     ]
 500     # fmt: off
 501     Plot_Nodes(name, list_x, list_y)
 502
 503     polynom = lambda x, y: [x**3, y**3, x**2 * y, x * y**2, x**2, y**2, x * y, x, y, 1]
 504
 505     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, useFactor=False)
 506
 507     # ----------------------------------------------
 508     # TRI15
 509     # ----------------------------------------------
 510     #
 511     # 2
 512     # | \
 513     # 9   8
 514     # |     \
 515     # 10 (14)  7
 516     # |         \
 517     # 11 (12) (13) 6
 518     # |             \
 519     # 0---3---4---5---1
 520     # ----------------------------------------------
 521
 522     name = "TRI15"
 523     Display.Section(name)
 524
 525     # fmt: off
 526     list_x = [
 527         0,1,0,
 528         1/4,1/2,3/4,
 529         3/4,1/2,1/4,
 530         0,0,0,
 531         1/4,1/2,1/4
 532     ]
 533     list_y = [
 534         0,0,1,
 535         0,0,0,
 536         1/4,1/2,3/4,
 537         3/4,1/2,1/4,
 538         1/4,1/4,1/2
 539     ]
 540     # fmt: on
 541     Plot_Nodes(name, list_x, list_y)
 542
 543     polynom = lambda x, y: [
 544         x**4,
 545         x**3 * y,
 546         x**2 * y**2,
 547         x * y**3,
 548         y**4,
 549         x**3,
 550         x**2 * y,
 551         x * y**2,
 552         y**3,
 553         x**2,
 554         x * y,
 555         y**2,
 556         x,
 557         y,
 558         1,
 559     ]
 560
 561     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, useFactor=False)
 562
 563
 564 # ----------------------------------------------
 565 # QUADRANGLES
 566 # ----------------------------------------------
 567
 568
 569 def Do_Quadrangles():
 570     # ----------------------------------------------
 571     # QUAD4
 572     # ----------------------------------------------
 573     #       v
 574     #       ^
 575     #       |
 576     # 3-----------2
 577     # |     |     |
 578     # |     |     |
 579     # |     +---- | --> u
 580     # |           |
 581     # |           |
 582     # 0-----------1
 583     # ----------------------------------------------
 584
 585     name = "QUAD4"
 586     Display.Section(name)
 587
 588     list_x = [-1, 1, 1, -1]
 589     list_y = [-1, -1, 1, 1]
 590     Plot_Nodes(name, list_x, list_y)
 591
 592     polynom = lambda x, y: [x * y, x, y, 1]
 593
 594     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y)
 595
 596     # ----------------------------------------------
 597     # QUAD8
 598     # ----------------------------------------------
 599     #       v
 600     #       ^
 601     #       |
 602     # 3-----6-----2
 603     # |     |     |
 604     # |     |     |
 605     # 7     +---- 5 --> u
 606     # |           |
 607     # |           |
 608     # 0-----4-----1
 609     # ----------------------------------------------
 610
 611     name = "QUAD8"
 612     Display.Section(name)
 613
 614     list_x = [-1, 1, 1, -1, 0, 1, 0, -1]
 615     list_y = [-1, -1, 1, 1, -1, 0, 1, 0]
 616     Plot_Nodes(name, list_x, list_y)
 617
 618     polynom = lambda x, y: [x**2 * y, y**2 * x, x**2, y**2, x * y, x, y, 1]
 619
 620     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, useFactor=True)
 621
 622     # ----------------------------------------------
 623     # QUAD9
 624     # ----------------------------------------------
 625     #       v
 626     #       ^
 627     #       |
 628     # 3-----6-----2
 629     # |     |     |
 630     # |     |     |
 631     # 7     8---- 5 --> u
 632     # |           |
 633     # |           |
 634     # 0-----4-----1
 635     # ----------------------------------------------
 636
 637     name = "QUAD9"
 638     Display.Section(name)
 639
 640     list_x = [-1, 1, 1, -1, 0, 1, 0, -1, 0]
 641     list_y = [-1, -1, 1, 1, -1, 0, 1, 0, 0]
 642     Plot_Nodes(name, list_x, list_y)
 643
 644     polynom = lambda x, y: [x**2 * y**2, x**2 * y, y**2 * x, x**2, y**2, x * y, x, y, 1]
 645
 646     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, useFactor=True)
 647
 648
 649 # ----------------------------------------------
 650 # TETRAHEDRON
 651 # ----------------------------------------------
 652
 653
 654 def Do_Tetrahedron():
 655     # ----------------------------------------------
 656     # TETRA4
 657     # ----------------------------------------------
 658     #                    v
 659     #                  .
 660     #                ,/
 661     #               /
 662     #            2
 663     #          ,/|`\
 664     #        ,/  |  `\
 665     #      ,/    '.   `\
 666     #    ,/       |     `\
 667     #  ,/         |       `\
 668     # 0-----------'.--------1 --> u
 669     #  `\.         |      ,/
 670     #     `\.      |    ,/
 671     #        `\.   '. ,/
 672     #           `\. |/
 673     #              `3
 674     #                 `\.
 675     #                    ` w
 676     # ----------------------------------------------
 677
 678     name = "TETRA4"
 679     Display.Section(name)
 680
 681     list_x = [0, 1, 0, 0]
 682     list_y = [0, 0, 1, 0]
 683     list_z = [0, 0, 0, 1]
 684     Plot_Nodes(name, list_x, list_y, list_z)
 685
 686     polynom = lambda x, y, z: [x, y, z, 1]
 687
 688     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, list_z)
 689
 690     # ----------------------------------------------
 691     # TETRA10
 692     # ----------------------------------------------
 693     #                    v
 694     #                  .
 695     #                ,/
 696     #               /
 697     #            2
 698     #          ,/|`\
 699     #        ,/  |  `\
 700     #      ,6    '.   `5
 701     #    ,/       8     `\
 702     #  ,/         |       `\
 703     # 0--------4--'.--------1 --> u
 704     #  `\.         |      ,/
 705     #     `\.      |    ,9
 706     #        `7.   '. ,/
 707     #           `\. |/
 708     #              `3
 709     #                 `\.
 710     #                    ` w
 711     # ----------------------------------------------
 712
 713     name = "TETRA10"
 714     Display.Section(name)
 715
 716     list_x = [0, 1, 0, 0, 0.5, 0.5, 0, 0, 0, 0.5]
 717     list_y = [0, 0, 1, 0, 0, 0.5, 0.5, 0, 0.5, 0]
 718     list_z = [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0.5, 0.5, 0.5]
 719     Plot_Nodes(name, list_x, list_y, list_z)
 720
 721     polynom = lambda x, y, z: [x**2, y**2, z**2, x * y, x * z, y * z, x, y, z, 1]
 722
 723     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, list_z)
 724
 725
 726 # ----------------------------------------------
 727 # HEXAHEDRON
 728 # ----------------------------------------------
 729
 730
 731 def Do_Hexahedron():
 732     # ----------------------------------------------
 733     # HEXA8
 734     # ----------------------------------------------
 735     #        v
 736     # 3----------2
 737     # |\     ^   |\
 738     # | \    |   | \
 739     # |  \   |   |  \
 740     # |   7------+---6
 741     # |   |  +-- |-- | -> u
 742     # 0---+---\--1   |
 743     #  \  |    \  \  |
 744     #   \ |     \  \ |
 745     #    \|      w  \|
 746     #     4----------5
 747     # ----------------------------------------------
 748
 749     name = "HEXA8"
 750     Display.Section(name)
 751
 752     list_x = [-1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1]
 753     list_y = [-1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1]
 754     list_z = [-1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1]
 755     Plot_Nodes(name, list_x, list_y, list_z)
 756
 757     polynom = lambda x, y, z: [x * y * z, x * y, x * z, y * z, x, y, z, 1]
 758
 759     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, list_z)
 760
 761     # ----------------------------------------------
 762     # HEXA20
 763     # ----------------------------------------------
 764     #        v
 765     # 3----13----2
 766     # |\     ^   |\
 767     # | 15   |   | 14
 768     # 9  \   |   11 \
 769     # |   7----19+---6
 770     # |   |  +-- |-- | -> u
 771     # 0---+-8-\--1   |
 772     #  \  17   \  \  18
 773     #  10 |     \  12|
 774     #    \|      w  \|
 775     #     4----16----5
 776     # ----------------------------------------------
 777
 778     name = "HEXA20"
 779     Display.Section(name)
 780
 781     # fmt: off
 782     list_x = [-1,1,1,-1,
 783             -1,1,1,-1,
 784             0,-1,-1,1,
 785             1,0,1,-1,
 786             0,-1,1,0]
 787     list_y = [-1,-1,1,1,
 788             -1,-1,1,1,
 789             -1,0,-1,0,
 790             -1,1,1,1,
 791             -1,0,0,1]
 792     list_z = [-1,-1,-1,-1,
 793             1,1,1,1,
 794             -1,-1,0,-1,
 795             0,-1,0,0,
 796             1,1,1,1]
 797     # fmt: on
 798     Plot_Nodes(name, list_x, list_y, list_z)
 799
 800     polynom = lambda x, y, z: [
 801         x**2 * y * z,
 802         y**2 * x * z,
 803         z**2 * x * y,
 804         x**2 * y,
 805         y**2 * x,
 806         z**2 * x,
 807         x**2 * z,
 808         y**2 * z,
 809         z**2 * y,
 810         x**2,
 811         y**2,
 812         z**2,
 813         x * y,
 814         x * z,
 815         y * z,
 816         x,
 817         y,
 818         z,
 819         x * y * z,
 820         1,
 821     ]
 822
 823     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, list_z, useSimplify=True, useFactor=True)
 824
 825     # ----------------------------------------------
 826     # HEXA27
 827     # ----------------------------------------------
 828     #
 829     # 3----13----2
 830     # |\         |\
 831     # |15    24  | 14
 832     # 9  \ 20    11 \
 833     # |   7----19+---6
 834     # |22 |  26  | 23|
 835     # 0---+-8----1   |
 836     #  \ 17    25 \  18
 837     #  10 |  21    12|
 838     #    \|         \|
 839     #     4----16----5
 840     # ----------------------------------------------
 841
 842     name = "HEXA27"
 843     Display.Section(name)
 844
 845     # fmt: off
 846     list_x = [
 847         -1,1,1,-1,
 848         -1,1,1,-1,
 849         0,-1,-1,1,
 850         1,0,1,-1,
 851         0,-1,1,0,
 852         0,0,-1,1,
 853         0,0,0
 854     ]
 855     list_y = [
 856         -1,-1,1,1,
 857         -1,-1,1,1,
 858         -1,0,-1,0,
 859         -1,1,1,1,
 860         -1,0,0,1,
 861         0,-1,0,0,
 862         1,0,0
 863     ]
 864     list_z = [
 865         -1,-1,-1,-1,
 866         1,1,1,1,
 867         -1,-1,0,-1,
 868         0,-1,0,0,
 869         1,1,1,1,
 870         -1,0,0,0,
 871         0,1,0
 872     ]
 873     # fmt: on
 874     Plot_Nodes(name, list_x, list_y, list_z)
 875
 876     polynom = lambda x, y, z: [
 877         x**2 * z**2 * y,
 878         x**2 * y**2 * z,
 879         y**2 * z**2 * x,
 880         x**2 * z**2 * y**2,
 881         x**2 * y**2,
 882         x**2 * z**2,
 883         y**2 * z**2,
 884         x**2 * y * z,
 885         y**2 * x * z,
 886         z**2 * x * y,
 887         x**2 * y,
 888         y**2 * x,
 889         z**2 * x,
 890         x**2 * z,
 891         y**2 * z,
 892         z**2 * y,
 893         x**2,
 894         y**2,
 895         z**2,
 896         x * y,
 897         x * z,
 898         y * z,
 899         x,
 900         y,
 901         z,
 902         x * y * z,
 903         1,
 904     ]
 905
 906     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, list_z, useSimplify=True, useFactor=True)
 907
 908
 909 # ----------------------------------------------
 910 # PRISM
 911 # ----------------------------------------------
 912
 913
 914 def Do_Prism():
 915     # ----------------------------------------------
 916     # PRISM6
 917     # ----------------------------------------------
 918     #            w
 919     #            ^
 920     #            |
 921     #            3
 922     #          ,/|`\
 923     #        ,/  |  `\
 924     #      ,/    |    `\
 925     #     4------+------5
 926     #     |      |      |
 927     #     |    ,/|`\    |
 928     #     |  ,/  |  `\  |
 929     #     |,/    |    `\|
 930     #    ,|      |      |\
 931     #  ,/ |      0      | `\
 932     # u   |    ,/ `\    |    v
 933     #     |  ,/     `\  |
 934     #     |,/         `\|
 935     #     1-------------2
 936     # ----------------------------------------------
 937
 938     name = "PRISM6"
 939     Display.Section(name)
 940
 941     list_x = [0, 1, 0, 0, 1, 0]
 942     list_y = [0, 0, 1, 0, 0, 1]
 943     list_z = [-1, -1, -1, 1, 1, 1]
 944     Plot_Nodes(name, list_x, list_y, list_z)
 945
 946     polynom = lambda x, y, z: [x * z, y * z, x, y, z, 1]
 947
 948     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, list_z)
 949
 950     # ----------------------------------------------
 951     # PRISM15
 952     # ----------------------------------------------
 953     #            w
 954     #            ^
 955     #            |
 956     #            3
 957     #          ,/|`\
 958     #        12  |  13
 959     #      ,/    |    `\
 960     #     4------14-----5
 961     #     |      8      |
 962     #     |    ,/|`\    |
 963     #     |  ,/  |  `\  |
 964     #     |,/    |    `\|
 965     #    ,10     |      11
 966     #  ,/ |      0      | \
 967     # u   |    ,/ `\    |   v
 968     #     |  ,6     `7  |
 969     #     |,/         `\|
 970     #     1------9------2
 971     # ----------------------------------------------
 972
 973     name = "PRISM15"
 974     Display.Section(name)
 975
 976     list_x = [0, 1, 0, 0, 1, 0, 0.5, 0, 0, 0.5, 1, 0, 0.5, 0, 0.5]
 977     list_y = [0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0.5, 0, 0.5, 0, 1, 0, 0.5, 0.5]
 978     list_z = [-1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 0, -1, 0, 0, 1, 1, 1]
 979     Plot_Nodes(name, list_x, list_y, list_z)
 980
 981     polynom = lambda x, y, z: [
 982         x**2 * z,
 983         y**2 * z,
 984         z**2 * x,
 985         z**2 * y,
 986         x * y * z,
 987         x**2,
 988         y**2,
 989         z**2,
 990         x * y,
 991         x * z,
 992         y * z,
 993         x,
 994         y,
 995         z,
 996         1,
 997     ]
 998
 999     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, list_z)
1000
1001     # ----------------------------------------------
1002     # PRISM18
1003     # ----------------------------------------------
1004     #            w
1005     #            ^
1006     #            |
1007     #            3
1008     #          ,/|`\
1009     #        12  |  13
1010     #      ,/    |    `\
1011     #     4------14-----5
1012     #     |      8      |
1013     #     |    ,/|`\    |
1014     #     |  15  |  16  |
1015     #     |,/    |    `\|
1016     #    ,10-----17-----11
1017     #  ,/ |      0      | \
1018     # u   |    ,/ `\    |   v
1019     #     |  ,6     `7  |
1020     #     |,/         `\|
1021     #     1------9------2
1022     # ----------------------------------------------
1023
1024     name = "PRISM18"
1025     Display.Section(name)
1026
1027     list_x = [0, 1, 0, 0, 1, 0, 0.5, 0, 0, 0.5, 1, 0, 0.5, 0, 0.5, 0.5, 0, 0.5]
1028     list_y = [0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0.5, 0, 0.5, 0, 1, 0, 0.5, 0.5, 0, 0.5, 0.5]
1029     list_z = [-1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 0, -1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0]
1030     Plot_Nodes(name, list_x, list_y, list_z)
1031
1032     polynom = lambda x, y, z: [
1033         x**2,
1034         y**2,
1035         x * y,
1036         x,
1037         y,
1038         1,
1039         x**2 * z,
1040         y**2 * z,
1041         x * y * z,
1042         x * z,
1043         y * z,
1044         z,
1045         x**2 * z**2,
1046         y**2 * z**2,
1047         x * y * z**2,
1048         x * z**2,
1049         y * z**2,
1050         z**2,
1051     ]
1052
1053     Compute_and_Print(polynom, list_x, list_y, list_z)
1054
1055
1056 # ----------------------------------------------
1057 # MAIN
1058 # ----------------------------------------------
1059
1060 if __name__ == "__main__":
1061     Do_Segments()
1062
1063     Do_Triangles()
1064
1065     Do_Quadrangles()
1066
1067     Do_Tetrahedron()
1068
1069     Do_Hexahedron()
1070
1071     Do_Prism()
1072
1073     plt.show()

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